Use a definição de série de Taylor para encontrar os primeiros quatro termos não nulos da série para f(x) centrada no valor dado de a.
f(x)=cos ^2 x, a=0

Passo 1

Precisamos achar os quatro primeiros termos não nulos da série de Taylor de f(x)=cos^2x em torno de a=0. Em geral usaríamos f^(n)(0)/n!, mas derivar cos^2x várias vezes é trabalhoso, então vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar.

Passo 2

Usamos a identidade cos^2x=1+cos2x2. Assim, basta expandir cos2x em série de Taylor e depois dividir tudo por 2.

Passo 3

Lembrando que cos z=sumn=0^infty(-1)^nz^2n(2n)!, substituímos z=2x:
cos2x=1-(2x)^22!+(2x)^44!-(2x)^66!+cdots =1-2x^2+tfrac23x^4-tfrac445x^6+cdots

Passo 4

Substituímos na expressão de f(x) e dividimos por 2 para obter a série até o termo x^6:
f(x)=1+cos2x2=1+(1-2x^2+tfrac23x^4-tfrac445x^6+cdots)2=1 - x^2 + tfrac13x^4 - tfrac245x^6 + cdots

Resposta

Os quatro primeiros termos não nulos são:
1 - x^2 + \tfrac{1}{3}x^4 - \tfrac{2}{45}x^6

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