Sendo
, determine o gradiente de
no ponto
e a taxa de variação de f na direção
.
Passo 1
O problema pede para a gente trabalhar com a função de duas variáveis
, calculando o gradiente em um ponto e a taxa de variação na direção de ângulo
. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais para formar o gradiente e, em seguida, derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e um vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de
. A derivada parcial em relação a
é dado por
e em relação a
temos
Com isso, o gradiente geral é
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
em cada componente:
Passo 4
Para a derivada direcional na direção de ângulo
, primeiro encontramos o vetor unitário correspondente. Como o ângulo é medido a partir do eixo
, temos
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar entre o gradiente em
e
. Logo,
Somando frações dentro do parêntese:
Portanto,
Resposta
Gradiente em (1,3):
; taxa de variação na direção
:
.