Sendo f(x, y)=x^2 div 16+y^2 div 9, determine o gradiente de f no ponto (1,3) e a taxa de variação de f na direção pi4.

Passo 1

O problema pede para a gente trabalhar com a função de duas variáveis f(x,y)=x^216+y^29, calculando o gradiente em um ponto e a taxa de variação na direção de ângulo pi/4. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais para formar o gradiente e, em seguida, derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e um vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais de f. A derivada parcial em relação a x é dado por
partial fpartial x=2x16=x8,
e em relação a y temos
partial fpartial y=2y9
Com isso, o gradiente geral é
nabla f(x,y)=l(x8,,2y9r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,3). Basta substituir x=1 e y=3 em cada componente:
nabla f(1,3)=l(18,,2cdot39r)=l(18,,69r)=l(18,,23r)

Passo 4

Para a derivada direcional na direção de ângulo pi/4, primeiro encontramos o vetor unitário correspondente. Como o ângulo é medido a partir do eixo x, temos
u=(costfracpi4,,sintfracpi4)=l(raiz22,,raiz22r)

Passo 5

A derivada direcional de f na direção de u é o produto escalar entre o gradiente em (1,3) e u. Logo,
Duf(1,3)=nabla f(1,3)cdotu =l(18,,23r)cdotl(raiz22,,raiz22r) =raiz22l(18+23r)
Somando frações dentro do parêntese:
18+23=324+1624=1924
Portanto,
Duf(1,3)=raiz22cdot1924=19raiz248

Resposta

Gradiente em (1,3): l(tfrac18,tfrac23r); taxa de variação na direção pi/4: tfrac19raiz248.

Exercícios relacionados