A temperatura em cada ponto do plano é dada pela função T(x, y)=3 x^{2}-2 x y+y^{2}.
a) (1.5) Determine o gradiente de T(x, y).
b) (1.5) Estando no ponto (1,-1) em que direção você deve seguir para obter um aumento mais rápido de T ? Qual é a derivada direcional nesta direção? Em que direção você deve seguir para que fique frio o mais rápido possível?

Passo 1

O enunciado pede para usar o conceito de gradiente e derivada direcional. A ideia é que o gradiente de T(x,y) reúne as derivadas parciais em relação a x e y, e aponta na direção de crescimento mais rápido. A derivada direcional numa direção unitária \mathbf{u} é o produto escalar \nabla T\cdot\mathbf{u}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de T(x,y)=3x^{2}-2xy+y^{2}:
\frac{\partial T}{\partial x} = 6x - 2y,
\frac{\partial T}{\partial y} = -2x + 2y.
Logo,
\nabla T(x,y) = \bigl(6x - 2y,\,-2x + 2y\bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente no ponto (1,-1):
\nabla T(1,-1) = \bigl(6\cdot1 - 2(-1),\,-2\cdot1 + 2(-1)\bigr) = (8,\,-4).

Passo 4

A direção de maior aumento é a direção de \nabla T(1,-1). O vetor unitário dessa direção é
\frac{\nabla T(1,-1)}{\|\nabla T(1,-1)\|} = \frac{(8,-4)}{\sqrt{8^{2}+(-4)^{2}}} = \frac{(8,-4)}{4\sqrt{5}} = \frac{(2,-1)}{\sqrt{5}}.
A derivada direcional nessa direção vale o módulo do gradiente:
\|\nabla T(1,-1)\| = \sqrt{8^{2}+(-4)^{2}} = 4\sqrt{5}.

Passo 5

Para o resfriamento mais rápido, usamos a direção oposta ao gradiente, isto é o vetor unitário
-\frac{(2,-1)}{\sqrt{5}} = \frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}.

Resposta

a) \nabla T(x,y) = (6x - 2y,\,-2x + 2y).
b) A direção de maior aumento em (1,-1) é \frac{(2,-1)}{\sqrt{5}} e a derivada direcional nessa direção é 4\sqrt{5}. A direção de resfriamento mais rápido é \frac{(-2,1)}{\sqrt{5}}.

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