A temperatura em cada ponto do plano é dada pela função
.
a) (1.5) Determine o gradiente de
.
b) (1.5) Estando no ponto
em que direção você deve seguir para obter um aumento mais rápido de
? Qual é a derivada direcional nesta direção? Em que direção você deve seguir para que fique frio o mais rápido possível?
a) (1.5) Determine o gradiente de
b) (1.5) Estando no ponto
Passo 1
O enunciado pede para usar o conceito de gradiente e derivada direcional. A ideia é que o gradiente de
reúne as derivadas parciais em relação a
e
, e aponta na direção de crescimento mais rápido. A derivada direcional numa direção unitária
é o produto escalar
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
:
Logo,
Passo 3
Avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 4
A direção de maior aumento é a direção de
. O vetor unitário dessa direção é
A derivada direcional nessa direção vale o módulo do gradiente:
Passo 5
Para o resfriamento mais rápido, usamos a direção oposta ao gradiente, isto é o vetor unitário
Resposta
a)
b) A direção de maior aumento em é
e a derivada direcional nessa direção é
. A direção de resfriamento mais rápido é
.
b) A direção de maior aumento em