\mathbf{1}^{\text {a }} Questão (3 pontos): Considere a curva C definida por f(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right) ;-1 \leq t \leq 1.
a) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right);
b) Determine o comprimento da curva C ; (1,8 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\mathbf{f}(t) = \bigl(t^3,\;t^2\bigr),\quad -1 \le t \le 1,
e pede:
a) as equações paramétricas da reta tangente a C no ponto \bigl(\tfrac18,\tfrac14\bigr);
b) o comprimento de C.
Para (a) vamos usar derivada vetorial para achar o vetor diretor da reta; para (b) vamos usar a fórmula do comprimento de arco de curva parametrizada.

Passo 2

Precisamos achar o parâmetro t_0 tal que
t_0^3 = \tfrac18,\quad t_0^2 = \tfrac14.
Da segunda equação vem t_0=\pm\tfrac12, mas t_0^3 deve ser +\tfrac18, logo
t_0 = \tfrac12.

Passo 3

Calculamos a derivada vetorial
\mathbf{f}'(t) = \bigl(3t^2,\;2t\bigr),
então em t_0=\tfrac12 obtemos
\mathbf{f}'\bigl(\tfrac12\bigr) = \bigl(3\cdot\tfrac14,\;2\cdot\tfrac12\bigr) = \bigl(\tfrac34,\;1\bigr).
Esse é o vetor diretor da reta tangente. Usando um parâmetro s\in\mathbb{R}, as equações paramétricas da reta são
x(s) = \tfrac18 + \tfrac34\,s, \qquad y(s) = \tfrac14 + 1\cdot s.

Passo 4

Para o comprimento de arco usamos a fórmula
L = \int_{-1}^{1} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.
Aqui x'(t)=3t^2 e y'(t)=2t, então o integrando é
\sqrt{(3t^2)^2 + (2t)^2} = \sqrt{9t^4 + 4t^2} = |t|\sqrt{9t^2 + 4}.

Passo 5

Como |t|\sqrt{9t^2+4} é par, temos
L = 2 \int_{0}^{1} t \sqrt{9t^2 + 4}\,dt.
Fazemos a substituição
u = 9t^2 + 4, \quad du = 18t\,dt \;\Longrightarrow\; t\,dt = \frac{du}{18},
quando t=0\to u=4 e t=1\to u=13. Assim
L = 2 \int_{u=4}^{13} \sqrt{u}\,\frac{du}{18} = \frac{2}{18} \int_{4}^{13} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{9}\,\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr]_{4}^{13} = \frac{2}{27}\bigl(13^{\tfrac32} - 4^{\tfrac32}\bigr) = \frac{2}{27}\bigl(13\sqrt{13} - 8\bigr).

Resposta

Equações paramétricas da reta tangente:
x(s) = \tfrac18 + \tfrac34\,s, \qquad y(s) = \tfrac14 + s.
Comprimento da curva:
L = \frac{2}{27}\bigl(13\sqrt{13} - 8\bigr).

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