Questão (3 pontos): Considere a curva C definida por
.
a) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto
;
b) Determine o comprimento da curva C ; (1,8 pontos)
a) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto
b) Determine o comprimento da curva C ; (1,8 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede:
a) as equações paramétricas da reta tangente a no ponto
;
b) o comprimento de .
Para (a) vamos usar derivada vetorial para achar o vetor diretor da reta; para (b) vamos usar a fórmula do comprimento de arco de curva parametrizada.
a) as equações paramétricas da reta tangente a
b) o comprimento de
Para (a) vamos usar derivada vetorial para achar o vetor diretor da reta; para (b) vamos usar a fórmula do comprimento de arco de curva parametrizada.
Passo 2
Precisamos achar o parâmetro
tal que
Da segunda equação vem
, mas
deve ser
, logo
Passo 3
Calculamos a derivada vetorial
então em
obtemos
Esse é o vetor diretor da reta tangente. Usando um parâmetro
, as equações paramétricas da reta são
Passo 4
Para o comprimento de arco usamos a fórmula
Aqui
e
, então o integrando é
Passo 5
Como
é par, temos
Fazemos a substituição
quando
e
. Assim
Resposta
Equações paramétricas da reta tangente:
Comprimento da curva: