Utilizando Regra da cadeia ou Derivação Implícita, resolva:
Se x^{3}+y^{3}+z^{3}+8 x y z=1, encontre \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x^{3}+y^{3}+z^{3}+8xyz=1
onde z depende de x e y. O conteúdo é derivação implícita usando regra da cadeia e produto. Vamos diferenciar em relação a x (mantendo y constante) para encontrar \partial z/\partial x e em relação a y (mantendo x constante) para encontrar \partial z/\partial y.

Passo 2

Diferenciando em relação a x e escrevendo z_x=\partial z/\partial x, temos
d/dx \bigl(x^3\bigr)=3x^2,
d/dx \bigl(y^3\bigr)=0,
d/dx \bigl(z^3\bigr)=3z^2\,z_x,
e pela regra do produto
d/dx \bigl(8xyz\bigr)=8\bigl((d/dx\,x)\,y\,z + x\,y\,(d/dx\,z)\bigr)=8(yz + xy\,z_x).
Somando tudo e igualando a zero (pois d/dx (1)=0), obtemos
3x^2 + 3z^2\,z_x + 8yz + 8xy\,z_x = 0.
Agrupando os termos com z_x:
(3z^2 + 8xy)\,z_x + (3x^2 + 8yz)=0 \quad\Longrightarrow\quad z_x = -\frac{3x^2 + 8yz}{3z^2 + 8xy}.

Passo 3

Diferenciando em relação a y e escrevendo z_y=\partial z/\partial y, temos
d/dy \bigl(x^3\bigr)=0,
d/dy \bigl(y^3\bigr)=3y^2,
d/dy \bigl(z^3\bigr)=3z^2\,z_y,
e pela regra do produto
d/dy \bigl(8xyz\bigr)=8\bigl(x(d/dy\,y)\,z + x\,y\,(d/dy\,z)\bigr)=8(xz + xy\,z_y).
Somando e igualando a zero:
3y^2 + 3z^2\,z_y + 8xz + 8xy\,z_y = 0.
Agrupando os termos com z_y:
(3z^2 + 8xy)\,z_y + (3y^2 + 8xz)=0 \quad\Longrightarrow\quad z_y = -\frac{3y^2 + 8xz}{3z^2 + 8xy}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{3x^2 + 8y\,z}{3z^2 + 8x\,y}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{3y^2 + 8x\,z}{3z^2 + 8x\,y}.

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