A temperatura T( ^circ C) em cada ponto de um painel plano é dada pela equação T=16 X^2 +24 X+40 Y^2, onde X e Y representam as coordenadas do plano. Indique o ponto de temperatura extrema do plano, informando se o mesmo se trata de um ponto de máximo ou mínimo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função temperatura definida no plano por
T(X,Y) = 16X^2 + 24X + 40Y^2
Queremos achar o ponto (X,Y) onde essa função atinge um extremo e determinar se é máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar cálculo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis:
1. calcular as derivadas parciais e igualar a zero para encontrar pontos críticos;
2. analisar a matriz Hessiana para classificar o tipo de extremo.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de T:
partial Tpartial X = 32X + 24,
partial Tpartial Y = 80Y

Passo 3

Igualar as derivadas a zero para achar o ponto crítico:
32X + 24 = 0 Longrightarrow X = -2432 = -34,
80Y = 0 Longrightarrow Y = 0
Logo, o ponto crítico é l(-tfrac34,0r).

Passo 4

Formar a matriz Hessiana de T e verificar sua definitude:
H = partial^2 Tpartial X^2 & partial^2 Tpartial X,partial Y partial^2 Tpartial Y,partial X & partial^2 Tpartial Y^2 = 32 & 0 0 & 80
Os autovalores de H são 32>0 e 80>0, logo H é definida positiva, indicando que T tem um mínimo em l(-tfrac34,0r).

Passo 5

Podemos também calcular o valor mínimo de T nesse ponto:
Tl(-tfrac34,0r) =16l(-tfrac34r)^2 + 24l(-tfrac34r) + 40cdot0^2 =9 -18 + 0 = -9

Resposta

O ponto de extremo é l(-34,0r) e trata-se de um mínimo de temperatura (valor T=-9).

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