A temperatura em cada ponto de um painel plano é dada pela equação , onde X e Y representam as coordenadas do plano. Indique o ponto de temperatura extrema do plano, informando se o mesmo se trata de um ponto de máximo ou mínimo.
Passo 1
O enunciado nos dá a função temperatura definida no plano por
Queremos achar o ponto onde essa função atinge um extremo e determinar se é máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar cálculo de máximos e mínimos de funções de duas variáveis: . calcular as derivadas parciais e igualar a zero para encontrar pontos críticos; . analisar a matriz Hessiana para classificar o tipo de extremo.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de :
Passo 3
Igualar as derivadas a zero para achar o ponto crítico:
Logo, o ponto crítico é .
Passo 4
Formar a matriz Hessiana de e verificar sua definitude:
Os autovalores de H são 32>0 e 80>0, logo H é definida positiva, indicando que T tem um mínimo em l(-tfrac34,0r).
Passo 5
Podemos também calcular o valor mínimo de T nesse ponto: