1. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma v.a. com distribuição uniforme no intervalo [150,300]. Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C_{1} reais. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200^{\circ}, o produto obtido é vendido a C_{2} reais; se a temperatura for superior a 200^{\circ}, o produto é vendido a C_{3} reais.
    (a) Fazer o gráfico da f.d.p. de T.
    (b) Qual é o lucro médio por galão?
\text { R. }(b) \frac{C_{2}+2 C_{3}}{3}-C_{1} .

Passo 1

O enunciado considera a temperatura de destilação T como uma v.a. uniforme em [150,300]. Há custo fixo de produção C_{1} por galão e o preço de venda é
C_{2} se T<200,
C_{3} se T>200.
Precisamos (a) desenhar a f.d.p. de T e (b) calcular o lucro médio por galão.

Passo 2

A f.d.p. de uma v.a. uniforme em [a,b]\) vale \[f_{T}(t)=\frac{1}{b-a}
para t\in[a,b] e zero fora. Aqui a=150, b=300, logo
f_{T}(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{300-150}=\dfrac{1}{150},&150\le t\le300,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
O gráfico é um retângulo de altura 1/150\] sobre o intervalo de \(150 a 300.

Passo 3

Definimos o lucro por temperatura t como
\pi(t)=\text{preço de venda}-C_{1} =\begin{cases} C_{2}-C_{1},&t<200,\\\ C_{3}-C_{1},&t>200. \end{cases}ç

Passo 4

O lucro médio é
E[\pi(T)] =(C_{2}-C_{1})\,P(T<200)+(C_{3}-C_{1})\,P(T>200).
Como T é uniforme,
P(T<200)=\frac{200-150}{300-150}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}, \qquad P(T>200)=\frac{100}{150}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Substituindo:
E[\pi(T)] =(C_{2}-C_{1})\frac{1}{3}+(C_{3}-C_{1})\frac{2}{3} =\frac{C_{2}+2C_{3}}{3}-C_{1}.

Resposta

(a) A f.d.p. é
f_{T}(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{150},&150\le t\le300,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
um retângulo de altura 1/150 sobre [150,300].
(b) O lucro médio por galão é
\frac{C_{2}+2C_{3}}{3}-C_{1}.

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