1. Para vencer certo jogo, você deve ganhar em três rodadas consecutivas. O jogo depende do valor de U, uma variável aleatória uniforme no intervalo (0,1). Se U>0,1, então você ganha a primeira rodada; se U>0,2, então você ganha a segunda rodada; e se U>0,3, você ganha a terceira rodada.
    (a) Determine a probabilidade de que você ganhe a primeira rodada.
    (b) Determine a probabilidade condicional de que você ganhe a segunda rodada dado que tenha vencido a primeira.
    (c) Determine a probabilidade condicional de que você ganhe a terceira rodada dado que tenha vencido as duas primeiras rodadas.
    (d) Determine a probabilidade de que você seja o vencedor do jogo.
\text { R. (a) } \frac{9}{10} \text {, (b) } \frac{8}{9} \text {, \text{(c)} } \frac{7}{8} \text {, (d) } \frac{7}{10} \text {. }

Passo 1

O enunciado diz que U é uniforme em (0,1) e que você ganha a 1ª, 2ª e 3ª rodadas se, respectivamente,
U>0,1,\quad U>0,2,\quad U>0,3.
Vamos usar que para U\sim \mathrm{Uniform}(0,1) vale
P(U>a)=1-a
e a definição de probabilidade condicional
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

Passo 2

Para a probabilidade de ganhar a primeira rodada, basta
P(\text{win}_1)=P(U>0,1)=1-0,1=0,9=\frac{9}{10}.

Passo 3

A probabilidade condicional de ganhar a segunda dado que ganhou a primeira é
P(\text{win}_2\mid \text{win}_1) =\frac{P(U>0,2)}{P(U>0,1)} =\frac{1-0,2}{1-0,1} =\frac{0,8}{0,9} =\frac{8}{9}.

Passo 4

De forma análoga, a probabilidade condicional de ganhar a terceira dado que venceu as duas primeiras é
P(\text{win}_3\mid \text{win}_1,\text{win}_2) =\frac{P(U>0,3)}{P(U>0,2)} =\frac{1-0,3}{1-0,2} =\frac{0,7}{0,8} =\frac{7}{8}.

Passo 5

Para ser vencedor do jogo você precisa ganhar todas as três rodadas, ou seja U>0,3. Logo
P(\text{win}_1,\text{win}_2,\text{win}_3) =P(U>0,3) =1-0,3 =0,7 =\frac{7}{10}.

Resposta

(a) \tfrac{9}{10}
(b) \tfrac{8}{9}
(c) \tfrac{7}{8}
(d) \tfrac{7}{10}

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