Temperatura de ebulição e a elevação do ponto de ebulição do suco. Ex: Um evaporador, suco de uva ( \mathbf{5 0 , 3} \boldsymbol{\circ} Brix) está em ebulição a uma pressão de \mathbf{1 5 , 7 6} \mathbf{~ k P a}. Considerando que está sendo usado vapor saturado a 169,06 \mathrm{kPa}\left(115^{\circ} \mathrm{C}\right) como fonte de calor, um coeficiente global de troca térmica de 1560 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e uma área de troca térmica de \mathbf{2 0} \mathbf{~ m}^{\mathbf{2}} determine:
a) Temperatura de ebulição e a elevação do ponto de ebulição do suco.

Passo 1

O problema dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
Dados do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Concentração do suco: }50{,}3\\ \text{°Brix (ou seja, }50{,}3\\ \text{g de sacarose por }100\\ \text{g de solução)}\\\ &\text{Pressão de ebulição do suco: }15{,}76\\ \mathrm{kPa}\\\ &\text{Vapor de trabalho saturado a }169{,}06\\ \mathrm{kPa}\\ (\,115^\circ\mathrm{C}\,),\\ U=1560\\ \mathrm{W/m^2K},\\ A=20\\ \mathrm{m^2} \end{aligned}çãçããçã
O que o enunciado pede:
a) Determinar a temperatura de ebulição do suco.
b) Determinar a elevação do ponto de ebulição do suco (ΔT_b).
Observação importante (para a resolução): a elevação do ponto de ebulição refere-se ao aumento da temperatura de ebulição do solvente (água) causado pela presença do soluto (sacarose) à mesma pressão. Para obter a temperatura de ebulição da solução usamos a temperatura de saturação da água à pressão dada e somamos a elevação de ponto de ebulição ΔT_b. Não precisamos usar diretamente U, A e a pressão do vapor de aquecimento para responder (a parte de transferência de calor serviria para determinar fluxo de calor), salvo se o enunciado pedisse vazão de evaporação — aqui só pedem temperatura e elevação.

Passo 2

Primeiro: determinar a temperatura de saturação da água (temperatura de ebulição do solvente puro) à pressão dada \,15{,}76\\ \mathrm{kPa}.
Método escolhido: usar a equação de Antoine para vapor d’água (fórmula empírica que relaciona pressão de vapor com temperatura). A equação de Antoine (forma usual para água em mmHg) é
\log_{10}(P_{\text{mmHg}})=A-\frac{B}{C+T}
onde T está em ^{\circ}\mathrm{C} e P_{\text{mmHg}} em mmHg. Para água, constantes adequadas na faixa de interesse são:
A=8{,}07131,\quad B=1730{,}63,\quad C=233{,}426.
Passos práticos:
  1. Converter a pressão de \mathrm{kPa} para \mathrm{mmHg} (1 kPa = 7{,}50062 mmHg):
P=15{,}76\\ \mathrm{kPa}\;\Rightarrow\;P_{\text{mmHg}}=15{,}76\times 7{,}50062 = 118{,}254\\ \mathrm{mmHg}.
  1. Inserir P_{\text{mmHg}} na equação de Antoine e resolver para T:
\log_{10}(118{,}254)=2{,}0723\quad(\text{valor calculado}).
8{,}07131-2{,}0723=5{,}99901.
\frac{1730{,}63}{5{,}99901}=288{,}445.
T=288{,}445-233{,}426=55{,}019\\ ^\circ\mathrm{C}.
Conclusão deste passo: a temperatura de saturação da água (solvente puro) à pressão \,15{,}76\\ \mathrm{kPa} é aproximadamente
T_{\text{sat, água}} \approx 55{,}02^\circ\mathrm{C}.á

Passo 3

Agora: calcular a elevação do ponto de ebulição \Delta T_b causada pela sacarose no suco.
Conceito e fórmula: para soluções diluídas de soluto não iônico (sacarose é não iônica), a elevação do ponto de ebulição é dada pela relação de ebuliometria
\Delta T_b = K_b \cdot m
onde
  • K_b é a constante ebuliométrica da água (para água pura K_b\approx 0{,}512\\ ^\circ\mathrm{C\cdot kg/mol}),
  • m é a molalidade da solução, isto é, número de mols de soluto por quilograma de solvente: \displaystyle m=\frac{n_{\text{soluto}}}{\text{kg solvente}}.
Explicando passo a passo como obter m a partir de 50{,}3 °Brix:
  • Por definição prática de Brix, 50{,}3 °Brix ≈ 50{,}3 g de sacarose em 100 g de solução.
  • Massa de sacarose: 50{,}3\\ \mathrm{g}.
  • Massa de solvente (água) = 100 - 50{,}3 = 49{,}7\\ \mathrm{g} = 0{,}0497\\ \mathrm{kg}.
  • Massa molar da sacarose ( \mathrm{C_{12}H_{22}O_{11}}): M_{\text{sacarose}}\approx 342{,}30\\ \mathrm{g/mol}.
Calcular número de mols de sacarose:
n=\frac{50{,}3\\ \mathrm{g}}{342{,}30\\ \mathrm{g/mol}}=0{,}1470\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aprox.}).
Calcular molalidade:
m=\frac{0{,}1470\\ \mathrm{mol}}{0{,}0497\\ \mathrm{kg}}=2{,}958\\ \mathrm{mol/kg}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular \Delta T_b usando K_b e m.
Usando K_b=0{,}512\\ ^\circ\mathrm{C\cdot kg/mol}:
\Delta T_b = K_b\cdot m = 0{,}512\times 2{,}958 = 1{,}514\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
\Delta T_b \approx 1{,}51^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: isso significa que, à mesma pressão, a solução ferverá cerca de 1{,}51^\circ\mathrm{C} acima da temperatura de ebulição da água pura.

Passo 5

Obter a temperatura de ebulição do suco (solução): somar a elevação \Delta T_b à temperatura de saturação da água à pressão dada.
T_{\text{ebulição, suco}} = T_{\text{sat, água}} + \Delta T_b = 55{,}02^\circ\mathrm{C} + 1{,}51^\circ\mathrm{C} = 56{,}53^\circ\mathrm{C}.çãá
Interpretação final: o suco à concentração dada e à pressão de ebulição 15{,}76\\ \mathrm{kPa} ferve a aproximadamente 56{,}53^\circ\mathrm{C}; a elevação do ponto de ebulição causada pela sacarose é aproximadamente 1{,}51^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\,T_{\text{ebulição suco}} \approx 56{,}53^\circ\mathrm{C}çã
\Delta T_b \approx 1{,}51^\circ\mathrm{C}

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