Taxa de transferência de calor, sem e com a EPE. Ex: Um evaporador, suco de uva ( \mathbf{5 0 , 3} \boldsymbol{\circ} Brix) está em ebulição a uma pressão de \mathbf{1 5 , 7 6} \mathbf{~ k P a}. Considerando que está sendo usado vapor saturado a 169,06 \mathrm{kPa}\left(115^{\circ} \mathrm{C}\right) como fonte de calor, um coeficiente global de troca térmica de 1560 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} e uma área de troca térmica de \mathbf{2 0} \mathbf{~ m}^{\mathbf{2}} determine:
b) Taxa de transferência de calor, sem e com a EPE.

Passo 1

O enunciado dá um evaporador onde:
\text{suco de uva } = 50{,}3^\circ\text{Brix}
\text{pressão de ebulição do suco } = 15{,}76\\ \text{kPa}ãçã
\text{vapor saturado usado (fonte) a } 169{,}06\\ \text{kPa} \Rightarrow T_{\text{vapor}}=115^\circ\text{C}
U = 1560\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}},\qquad A = 20\\ \mathrm{m^2}
O que se pede:
  • taxa de transferência de calor sem a EPE (elevação do ponto de ebulição);
  • taxa de transferência de calor considerando a EPE.
Informações relevantes tiradas/assumidas:
  • vou determinar a temperatura de ebulição do suco à pressão de 15{,}76\\ \text{kPa} através de interpolação em tabela de vapor (valores típicos de pressão de saturação em 50^\circC e 60^\circC serão usados);
  • para considerar a EPE (elevação do ponto de ebulição) vou tratar o suco como solução de sacarose (aproximação usual para sucos açucarados) e usar a relação coligativa aproximada \Delta T_b = K_b\cdot m (molalidade), com K_b da água e massa molar da sacarose; explicarei essa aproximação e suas limitações quando aplicada a concentrações elevadas ( 50{,}3^\circBrix).

Passo 2

Determinar a temperatura de ebulição do suco (sem EPE) correspondente a 15{,}76\\ \text{kPa}.
Explicação e método:
  • A temperatura de saturação da água para uma dada pressão é obtida em tabela de vapor. Como não temos a tabela completa no enunciado, faço uma interpolação linear entre valores conhecidos:
    • pressão de saturação a 50^\circC: p_{50}\approx 12{,}35\\ \text{kPa} (valor de tabela);
    • pressão de saturação a 60^\circC: p_{60}\approx 19{,}94\\ \text{kPa} (valor de tabela).
  • Interpolação linear em T entre 50^\circC e 60^\circC para a pressão 15{,}76\\ \text{kPa}.
Cálculo:
T_{\text{suco, sem EPE}} = 50 + \frac{15{,}76-12{,}35}{19{,}94-12{,}35}\cdot 10
T_{\text{suco, sem EPE}} = 50 + \frac{3{,}41}{7{,}59}\cdot 10 \approx 50 + 4{,}493 \approx 54{,}49^\circ\text{C}.
Comentário: esse valor foi obtido por interpolação em tabela de vapor; portanto a temperatura de ebulição do suco (sem considerar EPE) é \approx 54{,}49^\circ\text{C}.

Passo 3

Calcular a taxa de transferência de calor sem EPE.
Teoria rápida e fórmula:
  • Para uma superfície onde um lado está a vapor saturado (temperatura praticamente constante T_{\text{vapor}}) e o outro lado a líquido em ebulição (temperatura praticamente constante T_{\text{suco}}), a força motriz térmica é a diferença de temperatura simples \Delta T = T_{\text{vapor}} - T_{\text{suco}}.
  • A taxa de calor é dada por:
Q = U\cdot A \cdot \Delta T,
onde U é o coeficiente global (em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}), A a área (em \mathrm{m^2}), e \Delta T em K (ou °C, já que diferença).
Cálculo numérico:
U\cdot A = 1560\cdot 20 = 31200\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
\Delta T_{\text{sem EPE}} = 115{,}00 - 54{,}49 = 60{,}51\\ ^\circ\text{C}.
Q_{\text{sem EPE}} = 31200\cdot 60{,}51 \approx 1\,887\,782\\ \mathrm{W}\approx 1{,}888\\ \mathrm{MW}.
Interpretação curta: sem considerar elevação do ponto de ebulição, a transferência de calor é aproximadamente 1{,}888\\ \mathrm{MW}.

Passo 4

O que é EPE (elevação do ponto de ebulição) e como estimá-la para o suco 50{,}3^\circBrix.
Explicação didática:
  • A EPE é o aumento da temperatura de ebulição de uma solução comparada com a água pura, devido à presença de soluto (ex.: açúcar). É um efeito coligativo, que, para soluções diluídas, pode ser aproximado por:
\Delta T_b = K_b \cdot m,
onde \Delta T_b é a elevação do ponto de ebulição (em °C), K_b é a constante ebuliométrica da água (aprox. 0{,}512\\ \mathrm{^\circ C\cdot kg\,mol^{-1}}) e m é a molalidade (mol soluto por kg de solvente).
  • Para soluções concentradas (como 50{,}3^\circBrix) essa aproximação é apenas uma estimativa, pois ocorrem desvios não ideais; entretanto é uma forma prática e aceita em exercícios quando não se fornece uma tabela experimental de EPE.
Como usar o conceito com 50{,}3^\circBrix:
  • Interpreto 50{,}3^\circBrix como aproximadamente 50{,}3\% em massa de sacarose por massa de solução (aproximação usual).
  • Para 1 kg de solução: massa de sacarose =0{,}503\\ \mathrm{kg}; massa de solvente (água) =0{,}497\\ \mathrm{kg}.
  • massa molar da sacarose (C12H22O11): M = 342{,}3\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} = 0{,}3423\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
Cálculo da molalidade m:
\text{n}_{\text{soluto}}=\frac{0{,}503}{0{,}3423}\approx 1{,}4695\\ \mathrm{mol}.
m=\frac{\text{n}_{\text{soluto}}}{\text{kg de solvente}}=\frac{1{,}4695}{0{,}497}\approx 2{,}957\\ \mathrm{mol\cdot kg^{-1}}.
Agora aplicar a fórmula da EPE:
\Delta T_b \approx K_b\cdot m = 0{,}512\cdot 2{,}957 \approx 1{,}514\\ ^\circ\text{C}.
Comentário sobre a aproximação: esse valor \approx 1{,}51^\circC é uma estimativa usando a lei coligativa ideal; na prática a EPE real de sucos concentrados pode ser um pouco diferente (normalmente maior) por efeitos de não idealidade, mas para propósito de cálculo de engenharia isso é uma estimativa razoável se não houver tabela experimental.

Passo 5

Calcular a taxa de transferência de calor considerando a EPE.
Passos:
  • a nova temperatura de ebulição do suco será:
T_{\text{suco, com EPE}} = T_{\text{suco, sem EPE}} + \Delta T_b \approx 54{,}49 + 1{,}514 = 56{,}00^\circ\text{C}.
(Arredondei para dois decimais: 56{,}00^\circC.)
  • A nova diferença de temperatura:
\Delta T_{\text{com EPE}} = 115{,}00 - 56{,}00 = 59{,}00\\ ^\circ\text{C}.
  • Reaplico Q = U A \Delta T:
Q_{\text{com EPE}} = 31200\cdot 59{,}00 = 1\,840\,800\\ \mathrm{W}\approx 1{,}841\\ \mathrm{MW}.
Usando os valores mais precisos (não arredondando intermediários) obtivemos antes:
Q_{\text{com EPE}}\approx 1{,}840{,}660\\ \mathrm{W}
e a redução de potência por causa da EPE é aproximadamente
\Delta Q = Q_{\text{sem EPE}}-Q_{\text{com EPE}}\approx 1{,}887{,}782 - 1{,}840{,}660 \approx 47{,}122\\ \mathrm{W}\\ (\approx 47{,}1\\ \mathrm{kW}).
Interpretação: a EPE diminui o gradiente térmico disponível e, portanto, reduz a taxa de calor entregue ao suco. No exemplo com a aproximação coligativa, a redução é da ordem de 47\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Q_{\text{sem EPE}}\approx 1{,}887{,}782\\ \mathrm{W}\\ (\approx 1{,}888\\ \mathrm{MW})
Q_{\text{com EPE}}\approx 1{,}840{,}660\\ \mathrm{W}\\ (\approx 1{,}841\\ \mathrm{MW})

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