Calcule a integral tripla:
onde a região R é definida por:
\iiint_{R} 4 x d V
onde a região R é definida por:
R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x \leq \sqrt{1+z^{2}}, 0 \leq z \leq y, 0 \leq y \leq 2\right\}
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{R} 4x\, dV,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \leq x \leq \sqrt{1+z^{2}},\; 0 \leq z \leq y,\; 0 \leq y \leq 2\}.
Informações e perguntas claras:
Integramos a função 4x sobre a região R.
As desigualdades que definem R são:
1 \leq x \leq \sqrt{1+z^{2}},
0 \leq z \leq y,
0 \leq y \leq 2.
Objetivo: calcular o valor numérico da integral tripla.
Passo 2
Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado.
Observação sobre as desigualdades: o limite superior de x depende apenas de z; o limite de z depende apenas de y; e y tem limites constantes. Por isso é natural integrar primeiro em x, depois em z e por fim em y.
Escrevo então o integral iterado correspondente:
\iiint_{R} 4x\, dV = \int_{y=0}^{2}\!\int_{z=0}^{y}\!\int_{x=1}^{\sqrt{1+z^{2}}} 4x\; dx\; dz\; dy.
Passo 3
Integro em x (primeira integral interna).
Lembrete rápido de antiderivada: a antiderivada de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, então a antiderivada de 4x é 4\cdot \tfrac{1}{2}x^{2}=2x^{2}.