Calcule a integral tripla:
onde a região R é definida por:
\iiint_{R} 4 x d V
onde a região R é definida por:
R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x \leq \sqrt{1+z^{2}}, 0 \leq z \leq y, 0 \leq y \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{R} 4x\, dV,
onde a região R é dada por
R=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \leq x \leq \sqrt{1+z^{2}},\; 0 \leq z \leq y,\; 0 \leq y \leq 2\}.
Informações e perguntas claras:
  • Integramos a função 4x sobre a região R.
  • As desigualdades que definem R são:
    • 1 \leq x \leq \sqrt{1+z^{2}},
    • 0 \leq z \leq y,
    • 0 \leq y \leq 2.
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral tripla.

Passo 2

Escolha da ordem de integração e escrita do integral iterado.
Observação sobre as desigualdades: o limite superior de x depende apenas de z; o limite de z depende apenas de y; e y tem limites constantes. Por isso é natural integrar primeiro em x, depois em z e por fim em y.
Escrevo então o integral iterado correspondente:
\iiint_{R} 4x\, dV = \int_{y=0}^{2}\!\int_{z=0}^{y}\!\int_{x=1}^{\sqrt{1+z^{2}}} 4x\; dx\; dz\; dy.

Passo 3

Integro em x (primeira integral interna).
Lembrete rápido de antiderivada: a antiderivada de x é \tfrac{1}{2}x^{2}, então a antiderivada de 4x é 4\cdot \tfrac{1}{2}x^{2}=2x^{2}.
Faço a integral interna:
\int_{x=1}^{\sqrt{1+z^{2}}} 4x\; dx = \left.2x^{2}\right|_{1}^{\sqrt{1+z^{2}}}.
Avalio nos limites: \bigl(\sqrt{1+z^{2}}\bigr)^{2}=1+z^{2}, logo
\left.2x^{2}\right|_{1}^{\sqrt{1+z^{2}}} = 2(1+z^{2}) - 2(1) = 2z^{2}.
Portanto após integrar em x fica
\int_{y=0}^{2}\!\int_{z=0}^{y} 2z^{2}\; dz\; dy.

Passo 4

Integro em z (segunda integral).
Antiderivada de z^{2} é \tfrac{1}{3}z^{3}. Assim,
\int_{z=0}^{y} 2z^{2}\; dz = 2\cdot\left.\tfrac{1}{3}z^{3}\right|_{0}^{y} = \tfrac{2}{3}y^{3}.
Agora o integral reduz-se a uma integral em y:
\int_{y=0}^{2} \tfrac{2}{3}y^{3}\; dy.

Passo 5

Integro em y (terceira integral) e faço as contas finais.
Antiderivada de y^{3} é \tfrac{1}{4}y^{4}. Então
\int_{0}^{2} \tfrac{2}{3}y^{3}\; dy = \tfrac{2}{3}\cdot\left.\tfrac{1}{4}y^{4}\right|_{0}^{2} = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{4}\cdot 2^{4}.
Calculo numérico passo a passo:
2^{4}=16,\qquad \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 4,\qquad \tfrac{2}{3}\cdot 4 = \tfrac{8}{3}.
Portanto o valor da integral tripla é \tfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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