(Trajetórias ortogonais à uma família de curvas) Dada uma família de curvas, um problema geométrico interessante consiste em encontrar outra família de curvas que intersecta ortogonalmente
a família dada.
(a) Mostre que se
é uma família de soluções da EDO
então a família de trajetórias ortogonais é solução da equação
.
(b) Mostre que as trajetórias ortogonais à uma família de soluções de uma equação exata
são as soluções da equação
. Conclua que as trajetórias ortogonais às curvas de nível de uma função
são soluções da equação
0.
(c) Uma função
é dita harmônica se
. Determine as trajetórias ortogonais às curvas de nível de uma função harmônica
. Faça isso explicitamente nos casos
e
.
(d) Encontre as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas,
:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Isso quer dizer que, as retas tangentes às curvas nos pontos de intersecção são perpendiculares.
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(a) Mostre que se
(b) Mostre que as trajetórias ortogonais à uma família de soluções de uma equação exata
(c) Uma função
(d) Encontre as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas,
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
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Passo 1
O enunciado trata de encontrar, dada uma família de curvas, a outra família que as intersecta sempre ortogonalmente. Isso envolve derivadas e equações diferenciais. Para resolver, vamos usar (a) a noção de derivada como inclinação da tangente, (b) equações diferenciais exatas e (c) separação de variáveis ou homogeneidade para integrar as ODE que surgirem.
Passo 2
(a) Se uma família de curvas satisfaz
então em cada ponto a reta tangente tem inclinação
. Para que outra curva seja ortogonal, sua reta tangente aí deve ter inclinação negativa do inverso, isto é
Passo 3
(b) Se
é exata, existe
cujas curvas de nível são a família dada. A inclinação de cada nível é
Para as ortogonais queremos
o que corresponde à ODE
No caso de curvas de nível de
, temos
. Logo as ortogonais satisfazem
Passo 4
(c) Quando
é harmônica,
, as ortogonais às curvas de nível de
satisfazem
(i) Para
vem
,
, e a ODE
isto é
(ii) Para
vem
,
, e a ODE
Separando,
(iii) Para
vem
,
, e a ODE
Passo 5
(d-i) Para
temos
. Como
, fica
. As ortogonais satisfazem
ou seja
Passo 6
(d-ii) Para
vem
. Logo
e
Passo 7
(d-iii) Para
escrevemos
Diferenciando e eliminando
obtém-se a ODE original e, invertendo o coeficiente, chega-se a
idêntica ao caso anterior. Assim as ortogonais são
Geom. nota: a família dada são círculos passando pela origem; as ortogonais são círculos centrados na origem
, equivalentes a
.
Passo 8
(d-iv) Para
diferenciamos:
As ortogonais satisfazem
que é ODE homogênea em
. A solução implícita é
onde
.
Passo 9
(d-v) Para
escrevemos
e diferenciamos:
Eliminando
via a equação original, chega-se a
que, após separar e integrar, dá solução implícita
Passo 10
(d-vi) Para
temos
. Logo as ortogonais satisfazem
Resposta
(a)
(b) Se é exata, ortogonais satisfazem
. Para curvas de nível de
:
(c-i)
(c-ii)
(c-iii)
(d-i)
(d-ii)
(d-iii) (ou, geometricamente, círculos centrados na origem).
(d-iv) Implícita:
(d-v) Implícita:
(d-vi)
(b) Se
(c-i)
(c-ii)
(c-iii)
(d-i)
(d-ii)
(d-iii)
(d-iv) Implícita:
(d-v) Implícita:
(d-vi)