(Trajetórias ortogonais à uma família de curvas) Dada uma família de curvas, um problema geométrico interessante consiste em encontrar outra família de curvas que intersecta ortogonalmente ^ If a família dada.
(a) Mostre que se y=y(x) é uma família de soluções da EDO y^prime=f(x, y) então a família de trajetórias ortogonais é solução da equação y^prime=-1f(x, y).
(b) Mostre que as trajetórias ortogonais à uma família de soluções de uma equação exata P d x+Q d y=0 são as soluções da equação Q d x-P d y=0. Conclua que as trajetórias ortogonais às curvas de nível de uma função f=f(x, y) são soluções da equação fy d x-fx d y= 0.
(c) Uma função f=f(x, y) é dita harmônica se fx x+fy y=0. Determine as trajetórias ortogonais às curvas de nível de uma função harmônica f. Faça isso explicitamente nos casos f(x, y)=x^2-y^2, f(x, y)=e^x cos y e f(x, y)=e^x sen y.
(d) Encontre as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas, com C in R :
i. y=C x^2
ii. x y=C
iii. (x-C)^2+y^2=C^2
iv. x^2-x y+y^2=C^2
v. 2 C y+x^2=C^2
vi. x^2+y^2=C
^5 Isso quer dizer que, as retas tangentes às curvas nos pontos de intersecção são perpendiculares.
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Passo 1

O enunciado trata de encontrar, dada uma família de curvas, a outra família que as intersecta sempre ortogonalmente. Isso envolve derivadas e equações diferenciais. Para resolver, vamos usar (a) a noção de derivada como inclinação da tangente, (b) equações diferenciais exatas e (c) separação de variáveis ou homogeneidade para integrar as ODE que surgirem.

Passo 2

(a) Se uma família de curvas satisfaz
y'=f(x,y),
então em cada ponto a reta tangente tem inclinação f(x,y). Para que outra curva seja ortogonal, sua reta tangente aí deve ter inclinação negativa do inverso, isto é
y'perp=-1f(x,y)

Passo 3

(b) Se P,dx+Q,dy=0 é exata, existe F(x,y)=const cujas curvas de nível são a família dada. A inclinação de cada nível é
y'=-PQ
Para as ortogonais queremos
y'perp=-1y'=-1-P/Q=QP,
o que corresponde à ODE
Q,dx - P,dy=0
No caso de curvas de nível de f(x,y), temos df=fx,dx+fy,dy=0. Logo as ortogonais satisfazem
fy,dx - fx,dy=0

Passo 4

(c) Quando f é harmônica, fxx+fyy=0, as ortogonais às curvas de nível de f satisfazem
fy,dx - fx,dy=0
(i) Para f(x,y)=x^2-y^2 vem fx=2x, fy=-2y, e a ODE
(-2y),dx - (2x),dy=0 Longrightarrow y,dx + x,dy=0 Longrightarrow d(xy)=0,
isto é
xy=C
(ii) Para f(x,y)=e^xcos y vem fx=e^xcos y, fy=-e^xsin y, e a ODE
(-e^xsin y),dx - (e^xcos y),dy=0 Longrightarrow sin y,dx + cos y,dy=0
Separando,
dxdy=-cos ysin y=-cot y Longrightarrow x=-lnlvertsin yrvert +C Longrightarrow e^xsin y=K
(iii) Para f(x,y)=e^xsin y vem fx=e^xsin y, fy=e^xcos y, e a ODE
(e^xcos y),dx - (e^xsin y),dy=0 Longrightarrow cos y,dx - sin y,dy=0
dxdy=tan y Longrightarrow x=-lnlvertcos yrvert +C Longrightarrow e^xcos y=K

Passo 5

(d-i) Para y=Cx^2 temos dy/dx=2Cx. Como C=y/x^2, fica y'=2y/x. As ortogonais satisfazem
y'perp=-12y/x=-x2y,
ou seja
dydx=-x2y Longrightarrow 2y,dy + x,dx=0 Longrightarrow y^2 + tfrac12x^2=K

Passo 6

(d-ii) Para xy=C vem y'=-y/x. Logo
y'perp=-1-y/x=xy,
e
dydx=xy Longrightarrow y,dy = x,dx Longrightarrow tfrac12y^2-tfrac12x^2=K

Passo 7

(d-iii) Para (x-C)^2+y^2=C^2 escrevemos
x^2+y^2=2Cx
Diferenciando e eliminando C obtém-se a ODE original e, invertendo o coeficiente, chega-se a
dydx=-xy
idêntica ao caso anterior. Assim as ortogonais são
y^2 - x^2 = K
Geom. nota: a família dada são círculos passando pela origem; as ortogonais são círculos centrados na origem x^2+y^2=K, equivalentes a y^2-x^2=widetilde K.

Passo 8

(d-iv) Para x^2-xy+y^2=C^2 diferenciamos:
2x - y - x,y' +2y,y'=0 Longrightarrow y'=y-2x2y - x
As ortogonais satisfazem
dydx=-2y - xy-2x,
que é ODE homogênea em u=y/x. A solução implícita é
-lnlvert u-1rvert -1u-1=-lnlvert xrvert +K,
onde u=y/x.

Passo 9

(d-v) Para 2Cy +x^2=C^2 escrevemos
x^2 +2Cy -C^2=0
e diferenciamos:
2x +2C,y' +2y,C' -2C,C'=0
Eliminando C via a equação original, chega-se a
y'perp=-dydx
que, após separar e integrar, dá solução implícita
y + raizx^2+y^2=K,e^y

Passo 10

(d-vi) Para x^2+y^2=C temos y'=-x/y. Logo as ortogonais satisfazem
y'perp=-1-x/y=yx Longrightarrow dydx=yx Longrightarrow y=C'x

Resposta

(a) y'perp=-1/f(x,y)
(b) Se P,dx+Q,dy=0 é exata, ortogonais satisfazem Q,dx - P,dy=0. Para curvas de nível de f: fy,dx - fx,dy=0
(c-i) xy=C
(c-ii) e^xsin y=K
(c-iii) e^xcos y=K
(d-i) y^2+tfrac12x^2=K
(d-ii) tfrac12y^2-tfrac12x^2=K
(d-iii) y^2-x^2=K (ou, geometricamente, círculos centrados na origem).
(d-iv) Implícita: -lnlvert y/x -1rvert -1/(y/x-1)=-lnlvert xrvert +K
(d-v) Implícita: y+raizx^2+y^2=K,e^y
(d-vi) y=K'x

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