Progressōes Progressão aritmética Equações
A sequência (x+1 ;|5 x-1| ; 3 x+1) é uma progressão aritmética. Então, a soma dos possiveis valores de x é igual a:
A -27
5 x-1=x+1+3 x+12
B -15
2(5 x-1)=1 x+2
C 0
D 13
10 x-2=4 x+2
E 23
6 x=4 x+46 x=23

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência que é uma progressão aritmética (PA). A sequência é formada pelos termos (x+1; |5x -1| ; 3x +1). Nosso objetivo é encontrar a soma dos possíveis valores de x que fazem essa sequência ser uma PA.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de progressão aritmética, onde a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Ou seja, a diferença entre o segundo e o primeiro termo deve ser igual à diferença entre o terceiro e o segundo termo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de que a sequência é uma PA:
|5x -1| - (x + 1) = (3x + 1) - |5x -1|
Simplificando essa equação, temos:
2|5x -1| = 4x + 2
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
|5x -1| = 2x + 1
Agora, nosso desafio é resolver essa equação envolvendo o valor absoluto.

Passo 3

Para resolver a equação com valor absoluto |5x -1| = 2x + 1, precisamos considerar duas situações:
  1. Quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou zero:
    5x -1 >= 0 Rightarrow 5x >= 1 Rightarrow x >= 15
    Nesse caso, a equação fica:
    5x -1 = 2x + 1
    Resolvendo:
    5x -2x = 1 +1 Rightarrow 3x = 2 Rightarrow x = 23
    Como x = 23 é maior que 15, essa solução é válida.
  2. Quando a expressão dentro do valor absoluto é negativa:
    5x -1 < 0 Rightarrow 5x < 1 Rightarrow x < 15
    Nesse caso, a equação fica:
    -(5x -1) = 2x + 1 Rightarrow -5x +1 = 2x +1
    Resolvendo:
    -5x -2x = 1 -1 Rightarrow -7x = 0 Rightarrow x = 0
    Como x = 0 é menor que 15, essa solução também é válida.

Passo 4

Agora que temos duas soluções válidas para x, que são x = 23 e x = 0, vamos somar esses valores para encontrar a resposta final.
x1 + x2 = 23 + 0 = 23

Resposta

A soma dos possíveis valores de x é igual a 23.

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