A temperatura do ar (em graus Celsius) em uma certa região é dada por
onde
representa a distância (em quilômetros) para leste de um ponto de referência, e
a distância (em quilômetros) para norte do mesmo ponto.
(a) Em que ponto ocorre a temperatura máxima na região?
(b) Qual é o valor máximo da temperatura?
(c) Qual é a taxa de variação da temperatura (em
por quilômetro) no ponto situado a 1 km a leste e 2 km ao norte do ponto de referência?
(d) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto?
(a) Em que ponto ocorre a temperatura máxima na região?
(b) Qual é o valor máximo da temperatura?
(c) Qual é a taxa de variação da temperatura (em
(d) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. A temperatura do ar é a função
onde
é a distância (km) para leste e
é a distância (km) para norte do ponto de referência.
O enunciado pede:
(a) Em que ponto ocorre a temperatura máxima na região?
(b) Qual é o valor máximo da temperatura?
(c) Qual é a taxa de variação da temperatura (em por quilômetro) no ponto situado a
km a leste e
km ao norte do ponto de referência (ou seja, no ponto
)?
(d) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto ?
(a) Em que ponto ocorre a temperatura máxima na região?
(b) Qual é o valor máximo da temperatura?
(c) Qual é a taxa de variação da temperatura (em
(d) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de
. Isso serve para encontrar pontos críticos (onde a taxa de variação em
e em
é zero).
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Explicando rapidinho: a derivada de
é
, a de
em relação a
é
, e a de
é
; constantes somam zero.
Derivando em relação a
:
Aqui a derivada de
é
, de
em relação a
é
, e de
é
.
Passo 3
Para achar pontos críticos, resolvemos o sistema
Simplificando a primeira equação dividindo por
. Logo o ponto crítico é
.]
Passo 4
Agora vamos classificar o ponto crítico usando as segundas derivadas (matriz Hessiana). As segundas derivadas são:
A Hessiana é a matriz
Para saber se temos máximo, mínimo ou sela, verificamos se
é definida negativa, definida positiva etc. Um teste simples em
: se
e
, então
é definida negativa e o ponto é um máximo local.
Calculando o determinante:
e
. Portanto
é definida negativa e o ponto
é um máximo local. Como
é um polinômio quadrático com Hessiana negativa definida (forma quadrática negativa), esse máximo é global na região inteira (a função é estritamente côncava).]
Passo 5
Agora calculamos o valor da temperatura no ponto
. Substituindo em
:
Fazendo as contas passo a passo:
Agrupando:
Logo o valor máximo da temperatura é
.
Passo 6
Agora calculamos a taxa de variação no ponto
. A taxa de variação em qualquer ponto é dada pelo gradiente
Avaliaremos em
:
Então o gradiente em
é
Interpretação prática: movendo-se 1 km para leste (aumentando
em 1, mantendo
) a temperatura aumenta cerca de
; movendo-se 1 km para norte a temperatura varia cerca de
(ou seja, diminui
).
Também a magnitude do gradiente é a taxa de aumento mais rápida possível naquele ponto:
Passo 7
Direção de maior aumento: a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é a direção do próprio gradiente. Assim a direção de máxima subida em
é a direção do vetor
. O vetor unitário nessa direção é
Em palavras: essa direção aponta para leste e para sul (pois a componente em
é negativa), mais precisamente 12 unidades a leste para 14 unidades ao sul, normalizado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
; máxima taxa de aumento
(d) Direção do vetor , isto é, na direção unitária
.
(b)
(c)
(d) Direção do vetor