A temperatura do ar (em graus Celsius) em uma certa região é dada por
T(x, y)=25-2 x^{2}-3 y^{2}+4 x y+8 x-6 y,
onde x representa a distância (em quilômetros) para leste de um ponto de referência, e y a distância (em quilômetros) para norte do mesmo ponto.
(a) Em que ponto ocorre a temperatura máxima na região?
(b) Qual é o valor máximo da temperatura?
(c) Qual é a taxa de variação da temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{C} por quilômetro) no ponto situado a 1 km a leste e 2 km ao norte do ponto de referência?
(d) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. A temperatura do ar é a função
T(x,y)=25-2x^{2}-3y^{2}+4xy+8x-6y,
onde x é a distância (km) para leste e y é a distância (km) para norte do ponto de referência.
O enunciado pede:
(a) Em que ponto ocorre a temperatura máxima na região?
(b) Qual é o valor máximo da temperatura?
(c) Qual é a taxa de variação da temperatura (em {}^\circ\mathrm{C} por quilômetro) no ponto situado a 1 km a leste e 2 km ao norte do ponto de referência (ou seja, no ponto (1,2))?
(d) Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente nesse ponto (1,2)?

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de T. Isso serve para encontrar pontos críticos (onde a taxa de variação em x e em y é zero).
Derivando em relação a x:
\frac{\partial T}{\partial x}=T_x=-4x+4y+8.
Explicando rapidinho: a derivada de -2x^2 é -4x, a de 4xy em relação a x é 4y, e a de 8x é 8; constantes somam zero.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial T}{\partial y}=T_y=4x-6y-6.
Aqui a derivada de -3y^2 é -6y, de 4xy em relação a y é 4x, e de -6y é -6.

Passo 3

Para achar pontos críticos, resolvemos o sistema T_x=0\) e \(T_y=0\): \[\begin{cases} -4x+4y+8=0,\\[4pt] 4x-6y-6=0. \end{cases}
Simplificando a primeira equação dividindo por 4\]: \[-x+y+2=0\quad\Rightarrow\quad y=x-2.\] Substituindo na segunda equação: \[4x-6(x-2)-6=0.\] Calculando: \[4x-6x+12-6=0\quad\Rightarrow\quad -2x+6=0\quad\Rightarrow\quad x=3.\] Então \(y=x-2=3-2=1. Logo o ponto crítico é (3,1).]

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico usando as segundas derivadas (matriz Hessiana). As segundas derivadas são:
T_{xx}=-4,\qquad T_{yy}=-6,\qquad T_{xy}=T_{yx}=4.
A Hessiana é a matriz
H=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt]4 & -6\end{pmatrix}.
Para saber se temos máximo, mínimo ou sela, verificamos se H é definida negativa, definida positiva etc. Um teste simples em 2\times2: se T_{xx}<0 e \det H>0, então H é definida negativa e o ponto é um máximo local.
Calculando o determinante:
\det H = (-4)(-6)-4\cdot4 = 24-16=8>0,
e T_{xx}=-4<0. Portanto H é definida negativa e o ponto (3,1) é um máximo local. Como T é um polinômio quadrático com Hessiana negativa definida (forma quadrática negativa), esse máximo é global na região inteira (a função é estritamente côncava).]

Passo 5

Agora calculamos o valor da temperatura no ponto (3,1). Substituindo em T(x,y):
T(3,1)=25-2\cdot3^{2}-3\cdot1^{2}+4\cdot3\cdot1+8\cdot3-6\cdot1.
Fazendo as contas passo a passo:
25-2\cdot9-3\cdot1+12+24-6=25-18-3+12+24-6.
Agrupando:
25-18=7,\quad 7-3=4,\quad 4+12=16,\quad 16+24=40,\quad 40-6=34.
Logo o valor máximo da temperatura é 34\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Agora calculamos a taxa de variação no ponto (1,2). A taxa de variação em qualquer ponto é dada pelo gradiente
\nabla T(x,y)=(T_x,T_y)=(-4x+4y+8,\;4x-6y-6).
Avaliaremos em (1,2):
T_x(1,2)=-4\cdot1+4\cdot2+8=-4+8+8=12,
T_y(1,2)=4\cdot1-6\cdot2-6=4-12-6=-14.
Então o gradiente em (1,2) é
\nabla T(1,2)=(12,\,-14)\quad\text{em }{}^\circ\mathrm{C}\text{ por km}.
Interpretação prática: movendo-se 1 km para leste (aumentando x em 1, mantendo y) a temperatura aumenta cerca de 12\\ ^\circ\mathrm{C}; movendo-se 1 km para norte a temperatura varia cerca de -14\\ ^\circ\mathrm{C} (ou seja, diminui 14\\ ^\circ\mathrm{C}).
Também a magnitude do gradiente é a taxa de aumento mais rápida possível naquele ponto:
\|\nabla T(1,2)\|=\sqrt{12^{2}+(-14)^{2}}=\sqrt{144+196}=\sqrt{340}=2\sqrt{85}\approx18{,}44\\ ^\circ\mathrm{C}\text{ por km}.

Passo 7

Direção de maior aumento: a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente é a direção do próprio gradiente. Assim a direção de máxima subida em (1,2) é a direção do vetor (12,-14). O vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}=\frac{\nabla T(1,2)}{\|\nabla T(1,2)\|}=\frac{(12,-14)}{2\sqrt{85}}=\left(\frac{6}{\sqrt{85}},-\frac{7}{\sqrt{85}}\right).
Em palavras: essa direção aponta para leste e para sul (pois a componente em y é negativa), mais precisamente 12 unidades a leste para 14 unidades ao sul, normalizado.

Resposta

(a) (3,1)
(b) 34\\ ^\circ\mathrm{C}
(c) \nabla T(1,2)=(12,-14) (^\circ\mathrm{C}\!/\mathrm{km}); máxima taxa de aumento 2\sqrt{85}\approx18{,}44\\ ^\circ\mathrm{C}\!/\mathrm{km}
(d) Direção do vetor (12,-14), isto é, na direção unitária \displaystyle\left(\frac{6}{\sqrt{85}},-\frac{7}{\sqrt{85}}\right).

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