A temperatura em graus Celsius em um ponto
de uma placa plana é
; encontre a partir de
a direção e o sentido da máxima taxa de variação de T; qual é este valor máximo?
Passo 1
O enunciado pede a direção de máxima taxa de variação de T(x,y)=xy/(1+x²+y²) a partir do ponto (1,1) e o valor dessa taxa. O conteúdo é gradiente e derivadas parciais: sabemos que a direção de maior crescimento é a do gradiente ∇T e o valor máximo é o módulo de ∇T nesse ponto.
Passo 2
Para obter o gradiente, calculamos as derivadas parciais usando a regra do quociente. Tomando D=1+x²+y², temos:
Passo 3
Em (1,1) temos D=3. Substituindo x=1 e y=1 nas derivadas:
Logo ∇T(1,1)=(1/9,1/9).
Passo 4
A direção de máxima variação é a do vetor ∇T(1,1). Para obter o vetor unitário, normalizamos:
Então o vetor unitário é
Passo 5
O valor máximo da taxa de variação é exatamente o módulo do gradiente em (1,1), que calculamos como √2/9.
Resposta
A direção (unitária) de máximo crescimento em (1,1) é (1/√2, 1/√2), o sentido é o de aumento de T nessa direção, e o valor máximo da taxa de variação é √2/9.