A temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) de uma placa plana é T(x, y)=x y(1+x^2+y^2)^-1; encontre a partir de (1,1) a direção e o sentido da máxima taxa de variação de T; qual é este valor máximo?

Passo 1

O enunciado pede a direção de máxima taxa de variação de T(x,y)=xy/(1+x²+y²) a partir do ponto (1,1) e o valor dessa taxa. O conteúdo é gradiente e derivadas parciais: sabemos que a direção de maior crescimento é a do gradiente ∇T e o valor máximo é o módulo de ∇T nesse ponto.

Passo 2

Para obter o gradiente, calculamos as derivadas parciais usando a regra do quociente. Tomando D=1+x²+y², temos:
partial Tpartial x=y,D - x y,(2x)D^2=yl(1+y^2-x^2r)(1+x^2+y^2)^2,
partial Tpartial y=x,D - x y,(2y)D^2=xl(1+x^2-y^2r)(1+x^2+y^2)^2

Passo 3

Em (1,1) temos D=3. Substituindo x=1 e y=1 nas derivadas:
partial Tpartial x(1,1)=1,(1+1-1)3^2=19,
partial Tpartial y(1,1)=1,(1+1-1)3^2=19
Logo ∇T(1,1)=(1/9,1/9).

Passo 4

A direção de máxima variação é a do vetor ∇T(1,1). Para obter o vetor unitário, normalizamos:
|nabla T(1,1)|=raizl(tfrac19r)^2+l(tfrac19r)^2=raiz29,
Então o vetor unitário é
l(tfrac1/9raiz2/9,tfrac1/9raiz2/9r)=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 5

O valor máximo da taxa de variação é exatamente o módulo do gradiente em (1,1), que calculamos como √2/9.

Resposta

A direção (unitária) de máximo crescimento em (1,1) é (1/√2, 1/√2), o sentido é o de aumento de T nessa direção, e o valor máximo da taxa de variação é √2/9.

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