A temperatura é
graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano
e
. A distância é medida em metros. Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto
da placa. Ache a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a temperatura definida por T(x,y)=3x²+2xy e queremos, no ponto (3,−6), a taxa de variação máxima e a direção em que ela ocorre. O conteúdo envolvido é derivadas parciais, gradiente e direção de máxima variação.
Passo 2
Para encontrar a taxa de variação máxima de uma função de duas variáveis usamos o gradiente (∇T). O gradiente reúne as derivadas parciais:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de T(x,y)=3x²+2xy temos:
Passo 4
Avaliando essas expressões em (3,−6) obtemos o gradiente naquele ponto:
Passo 5
A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente e a direção é a do próprio gradiente. Assim:
vetor unitário na direção de ∇T(3,−6):
Resposta
A taxa de variação máxima em (3,−6) é 6\sqrt2 e ocorre na direção do vetor unitário
.