A temperatura é T(x, y) graus em qualquer ponto de uma placa retangular situada no plano x y e T(x, y)=3 x^2+2 x y. A distância é medida em metros. Ache a taxa de variação máxima da temperatura no ponto (3,-6) da placa. Ache a direção e sentido em que a taxa de variação é máxima em (3,-6).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a temperatura definida por T(x,y)=3x²+2xy e queremos, no ponto (3,−6), a taxa de variação máxima e a direção em que ela ocorre. O conteúdo envolvido é derivadas parciais, gradiente e direção de máxima variação.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação máxima de uma função de duas variáveis usamos o gradiente (∇T). O gradiente reúne as derivadas parciais:
∇T(x,y)=(∂T∂x,∂T∂y)

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de T(x,y)=3x²+2xy temos:
∂T∂x=6x+2y,
∂T∂y=2x

Passo 4

Avaliando essas expressões em (3,−6) obtemos o gradiente naquele ponto:
∇T(3,−6)=(6·3+2·(−6),;2·3)=(6,6)

Passo 5

A taxa de variação máxima é o módulo do gradiente e a direção é a do próprio gradiente. Assim:
|∇T(3,−6)|=raiz6²+6²=6raiz2, ²²
vetor unitário na direção de ∇T(3,−6):
16raiz2(6,6)=l(1raiz2,1raiz2r)

Resposta

A taxa de variação máxima em (3,−6) é 6\sqrt2 e ocorre na direção do vetor unitário l(1/raiz2,,1/raiz2r).

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