A temperatura inicial de um filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é de T_{1}=2515,1 \mathrm{~K}, na qual o máximo de emissão ocorre em \lambda_{1}. Após ajustar a tensão elétrica da lâmpada, a temperatura do filamento aumenta para T_{2} e a potência total irradia pela lâmpada passa para 3,8 vezes o valor que se tinha com T_{1}. Supondo que o filamento da lâmpda se comporta como um corpo negro, qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura T_{2} ?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes:
\lambda_{\text {max }} . T=2,898 \times 10^{-3} m . K
R=\sigma T^{4}, onde \sigma=5,6704 \times 10^{-8} W . m^{-2} . K^{4}
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede: qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral quando a temperatura do filamento passa de T_{1}=2515,1\\ \mathrm{K} para T_{2}, sabendo que a potência total irradiada pela lâmpada passou a ser 3,8 vezes a potência anterior. Informações e dados relevantes fornecidos no enunciado:
  • Temperatura inicial: T_{1}=2515,1\\ \mathrm{K}.
  • A potência total irradiada passa a ser 3,8 vezes a original (ou seja, P_{2}=3,8\;P_{1}).
  • O filamento é assumido como corpo negro.
  • Constante de Wein (dada): \lambda_{\text{max}}\;T = 2,898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Lei de Stefan–Boltzmann (indicada): R=\sigma T^{4}, com \sigma=5,6704\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}.
    Pergunta final objetiva: determinar \lambda_{2}, o comprimento de onda onde a emissão é máxima na temperatura T_{2}.

Passo 2

Entendendo a relação entre potência total e temperatura (aula rápida e útil):
  • Para um corpo negro, a potência irradiada por unidade de área (fluido radiativo) é dada por a lei de Stefan–Boltzmann:
R=\sigma T^{4},
onde R é a potência por unidade de área, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T a temperatura absoluta em kelvin. Isso significa que, para anular áreas iguais, a potência total é proporcional a T^{4}.
  • Se a potência total aumenta para 3,8 vezes, então a nova temperatura T_{2} deve satisfazer:
T_{2}^{4}=3,8\;T_{1}^{4}.
  • Tirando a quarta raiz em ambos os lados:
T_{2}=T_{1}\,(3,8)^{1/4}.
Agora calculamos numericamente o fator (3,8)^{1/4}. Uma forma prática é tirar duas vezes a raiz quadrada:
\sqrt{3,8}=1,9493588689\quad\text{(aprox.)}
(3,8)^{1/4}=\sqrt{1,9493588689}=1,3962\quad\text{(aprox.)}
Portanto:
T_{2}=2515,1\times 1,3962 \approx 3511,6\\ \mathrm{K}.
Expliquei passo a passo como obtenho o fator porque, na prova, você pode calcular a raiz quadrada duas vezes para a quarta raiz sem precisar de calculadora científica complicada.

Passo 3

Agora relacionamos temperatura e comprimento de onda de máxima emissão (Lei de Wien):
  • A Lei de Wien diz que
\lambda_{\max}\;T=b,
onde b é a constante de deslocamento de Wien. No enunciado b=2,898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Para a nova temperatura T_{2} temos:
\lambda_{2}=\frac{b}{T_{2}}.
Substituindo os valores (uso o T_{2} que calculamos):
\lambda_{2}=\frac{2,898\times 10^{-3}}{3511,6}\\ \mathrm{m}.
Faço a divisão passo a passo: primeiro obtenho o comprimento na notação em metros:
\lambda_{2}\approx 8,254\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • É comum converter metros em nanômetros para visualizar melhor ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m} ), então:
\lambda_{2}\approx 825,4\\ \mathrm{nm}.
Comentário didático rápido: como a temperatura aumentou, o comprimento de onda do máximo diminuiu (passou de cerca de 1{,}15\\ \mu\mathrm{m} para 0{,}825\\ \mu\mathrm{m}), ou seja, o pico deslocou-se para comprimentos de onda menores (mais para o visível/infravermelho próximo). Isso é o que a Lei de Wien prevê: aumento de T → diminuição de \lambda_{\max}.

Resposta

\lambda_{2}\approx 8,254\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}=825,4\\ \mathrm{nm}

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