A temperatura inicial de um filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é de
, na qual o máximo de emissão ocorre em
. Após ajustar a tensão elétrica da lâmpada, a temperatura do filamento aumenta para
e a potência total irradia pela lâmpada passa para 3,8 vezes o valor que se tinha com
. Supondo que o filamento da lâmpda se comporta como um corpo negro, qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura
?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes:
, onde
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede: qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral quando a temperatura do filamento passa de
para
, sabendo que a potência total irradiada pela lâmpada passou a ser
vezes a potência anterior. Informações e dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Temperatura inicial:
. - A potência total irradiada passa a ser
vezes a original (ou seja, ). - O filamento é assumido como corpo negro.
- Constante de Wein (dada):
. - Lei de Stefan–Boltzmann (indicada):
, com .
Pergunta final objetiva: determinar, o comprimento de onda onde a emissão é máxima na temperatura .
Passo 2
Entendendo a relação entre potência total e temperatura (aula rápida e útil):
- Para um corpo negro, a potência irradiada por unidade de área (fluido radiativo) é dada por a lei de Stefan–Boltzmann:
onde
é a potência por unidade de área,
é a constante de Stefan–Boltzmann e
a temperatura absoluta em kelvin. Isso significa que, para anular áreas iguais, a potência total é proporcional a
.
- Se a potência total aumenta para
vezes, então a nova temperatura deve satisfazer:
- Tirando a quarta raiz em ambos os lados:
Agora calculamos numericamente o fator
. Uma forma prática é tirar duas vezes a raiz quadrada:
Portanto:
Expliquei passo a passo como obtenho o fator porque, na prova, você pode calcular a raiz quadrada duas vezes para a quarta raiz sem precisar de calculadora científica complicada.
Passo 3
Agora relacionamos temperatura e comprimento de onda de máxima emissão (Lei de Wien):
- A Lei de Wien diz que
onde
é a constante de deslocamento de Wien. No enunciado
.
- Para a nova temperatura
temos:
Substituindo os valores (uso o
que calculamos):
Faço a divisão passo a passo: primeiro obtenho o comprimento na notação em metros:
- É comum converter metros em nanômetros para visualizar melhor (
), então:
Comentário didático rápido: como a temperatura aumentou, o comprimento de onda do máximo diminuiu (passou de cerca de
para
), ou seja, o pico deslocou-se para comprimentos de onda menores (mais para o visível/infravermelho próximo). Isso é o que a Lei de Wien prevê: aumento de
→ diminuição de
.