Considere as seguintes afirmações referentes à radiação do corpo negro:
I - Tanto Rayleigh e Jeans quanto Planck consideraram que um corpo negro pode ser aproximado por um conjunto de osciladores;
II - A fórmula sugerida por Rayleigh e Jeans, usa o teorema de equipartição de energia para a energia dos osciladores na cavidade;
III - Planck postulou a descontinuidade na emissão e absorção da radiação, ou seja, a radiação seria composta por quantidades discretas, múltiplas de uma unidade de energia mínima;
IV - Os dois modelos (Rayleigh-Jeans e Planck) obtinham prediçōes similares para comprimentos de onda curtos, mas discordantes quando considerávamos comprimentos de onda longos.
Selecione a alternativa que apresenta todas as afirmações verdadeiras:
Escolha uma opção:
a. apenas em I, II e III.
b. apenas em II e III.
c. apenas em I e III.
d. apenas em I, II e IV.
e. apenas em II, III e IV.

Passo 1

O enunciado pede que a gente indique quais das afirmações I, II, III e IV sobre radiação do corpo negro são verdadeiras. As quatro afirmações são:
I - Tanto Rayleigh e Jeans quanto Planck consideraram que um corpo negro pode ser aproximado por um conjunto de osciladores.
II - A fórmula sugerida por Rayleigh e Jeans usa o teorema de equipartição de energia para a energia dos osciladores na cavidade.
III - Planck postulou a descontinuidade na emissão e absorção da radiação, ou seja, a radiação seria composta por quantidades discretas, múltiplas de uma unidade de energia mínima.
IV - Os dois modelos (Rayleigh-Jeans e Planck) obtinham predições similares para comprimentos de onda curtos, mas discordantes quando considerávamos comprimentos de onda longos.
Nos próximos passos vamos analisar cada uma dessas afirmações com explicações detalhadas e didáticas.

Passo 2

Analisando a afirmação I. O que significa “aproximado por um conjunto de osciladores”? Aqui a ideia física é modelar o sistema (cavidade com radiação ou os emissores/absorvedores nas paredes) por graus de liberdade que se comportam como osciladores harmônicos (cada modo de vibração é um oscilador).
  • Rayleigh e Jeans: na derivação clássica eles trataram os modos do campo eletromagnético dentro da cavidade como graus de liberdade que têm energia associada semelhante à de osciladores harmônicos (cada modo de frequência \nu é contado).
  • Planck: modelou os “resonadores” (osciladores nos materiais das paredes que trocam energia com o campo) como osciladores harmônicos, e foi sobre esses osciladores que ele fez a hipótese da quantização.
Conclusão do passo: a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II. Vamos explicar o que é o teorema de equipartição e como Rayleigh-Jeans o usou.
  • Teorema de equipartição (resumido): na física clássica, em equilíbrio térmico cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média \tfrac{1}{2}kT por termo quadrático, onde k é a constante de Boltzmann e T a temperatura. Para um oscilador harmônico simples (energia cinética + energia potencial, dois termos quadráticos), a energia média total por oscilador é
\langle E\rangle = kT.
  • Rayleigh-Jeans aplicou essa ideia aos modos do campo: cada modo (frequência \nu) tem energia média \langle E\rangle=kT. Contando o número de modos por intervalo de frequência e multiplicando por kT, obteve a densidade espectral clássica
u(\nu) = \frac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}}\,kT,
onde c é a velocidade da luz. Essa fórmula é a famosa lei de Rayleigh-Jeans.
Portanto a afirmação II é verdadeira: Rayleigh-Jeans usou equipartição para a energia dos osciladores/modos.

Passo 4

Analisando a afirmação III. O que Planck realmente propôs?
  • Planck, ao tentar ajustar a curva experimental da radiação do corpo negro, propôs que os osciladores que trocavam energia com o campo só poderiam trocar energia em “pacotes” discretos. Ele assumiu que a energia de um oscilador de frequência \nu só podia tomar valores discretos da forma
E_n = n h \nu,\quad n=0,1,2,\dots
onde h é a constante agora chamada de constante de Planck.
  • Em palavras: a emissão e absorção não ocorrem de forma contínua em qualquer quantidade, mas em múltiplos inteiros de uma unidade básica h\nu. (Importante: historicamente Planck introduziu isso como hipótese matemática para obter o ajuste; hoje entendemos isso como quantização da energia.)
Isso corresponde exatamente ao que a afirmação III diz. Conclusão: a afirmação III é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação IV. Aqui precisamos comparar as predições nos regimes de comprimento de onda (ou frequência) curto/longos.
  • Primeiro, convém lembrar a lei de Planck (forma em frequência):
u(\nu)=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}}\cdot\frac{1}{e^{h\nu/(kT)}-1}.
  • Comportamentos limites:
    • Baixas frequências (ou seja, comprimentos de onda longos), quando h\nu \ll kT, expandimos o exponencial e^{h\nu/(kT)}\approx 1 + h\nu/(kT). Substituindo na lei de Planck obtemos, para \nu pequeno,
    u(\nu)\approx \frac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}}\,kT,
    que é exatamente a lei de Rayleigh-Jeans. Ou seja, Rayleigh-Jeans e Planck concordam no regime de baixas frequências (comprimentos de onda longos).
    • Altas frequências (comprimentos de onda curtos), quando h\nu \gg kT, a lei de Planck se comporta como a lei de Wien
    u(\nu)\approx \frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}} e^{-h\nu/(kT)},
    que decai exponencialmente. Já a lei de Rayleigh-Jeans, u(\nu)\propto \nu^{2}kT, cresce como \nu^{2} e portanto diverge para frequências altas — o chamado “catástrofe ultravioleta”. Assim, as previsões divergem fortemente no regime de altas frequências (curtos comprimentos de onda).
  • A afirmação IV dizia o contrário: que os dois modelos obtinham previsões similares para comprimentos de onda curtos e discordantes para comprimentos de onda longos. Isso é invertido: na verdade eles são similares para comprimentos de onda longos (baixas frequências) e discordantes para comprimentos de onda curtos (altas frequências).
Conclusão: a afirmação IV é falsa.

Passo 6

Resumo final das verificações:
  • I: verdadeira.
  • II: verdadeira.
  • III: verdadeira.
  • IV: falsa.
Portanto as afirmações verdadeiras são I, II e III.

Resposta

a. apenas em I, II e III.

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