Considere as seguintes afirmações referentes à radiação do corpo negro:
I - Tanto Rayleigh e Jeans quanto Planck consideraram que um corpo negro pode ser aproximado por um conjunto de osciladores;
II - A fórmula sugerida por Rayleigh e Jeans, usa o teorema de equipartição de energia para a energia dos osciladores na cavidade;
III - Planck postulou a descontinuidade na emissão e absorção da radiação, ou seja, a radiação seria composta por quantidades discretas, múltiplas de uma unidade de energia mínima;
IV - Os dois modelos (Rayleigh-Jeans e Planck) obtinham prediçōes similares para comprimentos de onda curtos, mas discordantes quando considerávamos comprimentos de onda longos.
Selecione a alternativa que apresenta todas as afirmações verdadeiras:
Escolha uma opção:
a. apenas em I, II e III.
b. apenas em II e III.
c. apenas em I e III.
d. apenas em I, II e IV.
e. apenas em II, III e IV.
Escolha uma opção:
a. apenas em I, II e III.
b. apenas em II e III.
c. apenas em I e III.
d. apenas em I, II e IV.
e. apenas em II, III e IV.
Passo 1
O enunciado pede que a gente indique quais das afirmações I, II, III e IV sobre radiação do corpo negro são verdadeiras. As quatro afirmações são:
I - Tanto Rayleigh e Jeans quanto Planck consideraram que um corpo negro pode ser aproximado por um conjunto de osciladores.
II - A fórmula sugerida por Rayleigh e Jeans usa o teorema de equipartição de energia para a energia dos osciladores na cavidade.
III - Planck postulou a descontinuidade na emissão e absorção da radiação, ou seja, a radiação seria composta por quantidades discretas, múltiplas de uma unidade de energia mínima.
IV - Os dois modelos (Rayleigh-Jeans e Planck) obtinham predições similares para comprimentos de onda curtos, mas discordantes quando considerávamos comprimentos de onda longos.
Nos próximos passos vamos analisar cada uma dessas afirmações com explicações detalhadas e didáticas.
Passo 2
Analisando a afirmação I. O que significa “aproximado por um conjunto de osciladores”? Aqui a ideia física é modelar o sistema (cavidade com radiação ou os emissores/absorvedores nas paredes) por graus de liberdade que se comportam como osciladores harmônicos (cada modo de vibração é um oscilador).
- Rayleigh e Jeans: na derivação clássica eles trataram os modos do campo eletromagnético dentro da cavidade como graus de liberdade que têm energia associada semelhante à de osciladores harmônicos (cada modo de frequência
é contado). - Planck: modelou os “resonadores” (osciladores nos materiais das paredes que trocam energia com o campo) como osciladores harmônicos, e foi sobre esses osciladores que ele fez a hipótese da quantização.
Conclusão do passo: a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação II. Vamos explicar o que é o teorema de equipartição e como Rayleigh-Jeans o usou.
- Teorema de equipartição (resumido): na física clássica, em equilíbrio térmico cada grau de liberdade quadrático contribui com energia média
por termo quadrático, onde é a constante de Boltzmann e a temperatura. Para um oscilador harmônico simples (energia cinética + energia potencial, dois termos quadráticos), a energia média total por oscilador é
- Rayleigh-Jeans aplicou essa ideia aos modos do campo: cada modo (frequência
) tem energia média . Contando o número de modos por intervalo de frequência e multiplicando por , obteve a densidade espectral clássica
onde
é a velocidade da luz. Essa fórmula é a famosa lei de Rayleigh-Jeans.
Portanto a afirmação II é verdadeira: Rayleigh-Jeans usou equipartição para a energia dos osciladores/modos.
Passo 4
Analisando a afirmação III. O que Planck realmente propôs?
- Planck, ao tentar ajustar a curva experimental da radiação do corpo negro, propôs que os osciladores que trocavam energia com o campo só poderiam trocar energia em “pacotes” discretos. Ele assumiu que a energia de um oscilador de frequência
só podia tomar valores discretos da forma
onde
é a constante agora chamada de constante de Planck.
- Em palavras: a emissão e absorção não ocorrem de forma contínua em qualquer quantidade, mas em múltiplos inteiros de uma unidade básica
. (Importante: historicamente Planck introduziu isso como hipótese matemática para obter o ajuste; hoje entendemos isso como quantização da energia.)
Isso corresponde exatamente ao que a afirmação III diz. Conclusão: a afirmação III é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação IV. Aqui precisamos comparar as predições nos regimes de comprimento de onda (ou frequência) curto/longos.
- Primeiro, convém lembrar a lei de Planck (forma em frequência):
-
Comportamentos limites:
- Baixas frequências (ou seja, comprimentos de onda longos), quando
, expandimos o exponencial . Substituindo na lei de Planck obtemos, para pequeno,
que é exatamente a lei de Rayleigh-Jeans. Ou seja, Rayleigh-Jeans e Planck concordam no regime de baixas frequências (comprimentos de onda longos).- Altas frequências (comprimentos de onda curtos), quando
, a lei de Planck se comporta como a lei de Wien
que decai exponencialmente. Já a lei de Rayleigh-Jeans,, cresce como e portanto diverge para frequências altas — o chamado “catástrofe ultravioleta”. Assim, as previsões divergem fortemente no regime de altas frequências (curtos comprimentos de onda). - Baixas frequências (ou seja, comprimentos de onda longos), quando
-
A afirmação IV dizia o contrário: que os dois modelos obtinham previsões similares para comprimentos de onda curtos e discordantes para comprimentos de onda longos. Isso é invertido: na verdade eles são similares para comprimentos de onda longos (baixas frequências) e discordantes para comprimentos de onda curtos (altas frequências).
Conclusão: a afirmação IV é falsa.
Passo 6
Resumo final das verificações:
- I: verdadeira.
- II: verdadeira.
- III: verdadeira.
- IV: falsa.
Portanto as afirmações verdadeiras são
,
e
.
Resposta
a. apenas em I, II e III.