A temperatura inicial de um filamento de uma lâmpada incandescente de 40 W é de T1=2653,8 K, na qual o máximo de emissão ocorre em lambda1. Após ajustar a tensão elétrica da lâmpada, a temperatura do filamento aumenta para T2 e a potência total irradiada pela lâmpada passa para 6,3 vezes o valor que se tinha com T1. Supondo que o filamento da lâmpada se comporta como um corpo negro, qual será o novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral na temperatura T2 ?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 times 10^-5=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes:
l lambdamax cdot T=2,898 times 10^-3 m K R=sigma T^4, onde sigma=5,6704 times 10^-8 W cdot m^-2 cdot K^4
Resposta: square Escolher…

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmpada incandescente cuja temperatura inicial do filamento é $ T_1 = 2653{,}8 , \mathrm{K} $ e o comprimento de onda onde a emissão é máxima é $ \lambda_1 $. Após ajustar a tensão, a temperatura sobe para $ T_2 $ e a potência irradiada aumenta para 6,3 vezes a original. Nosso objetivo é descobrir qual será o novo comprimento de onda de máxima emissão, $ \lambda_2 $, nessa nova temperatura. Para resolver isso, vamos usar duas leis importantes da física: a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei de Wien.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada por um corpo negro com sua temperatura. A fórmula é:
R = sigma T^4
Onde:
  • $ R $ é a potência irradiada por unidade de área,
  • $ \sigma = 5{,}6704 \times 10^{-8} , \mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-4} $ é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • $ T $ é a temperatura do corpo negro.

Passo 3

A questão nos diz que a potência irradiada aumenta para 6,3 vezes o valor inicial quando a temperatura sobe para $ T_2 $. Podemos relacionar as duas situações usando a Lei de Stefan-Boltzmann:
T2
Sabemos que $ \frac{R_2}{R_1} = 6{,}3 $, então:
R2R1 = ( T2T1 )^4

Passo 4

Para encontrar $ T_2 $, vamos resolver a equação:
T2
Calculando a raiz quarta de 6,3:
T22653,8 = raiz[4]6,3
Então:
raiz[4]6,3 approx 1,589

Passo 5

Agora, vamos usar a Lei de Wien, que relaciona a temperatura de um corpo negro com o comprimento de onda de máxima emissão:
lambdamax cdot T = 2,898 times 10^-3 , m cdot K
Queremos encontrar $ \lambda_2 $, então:
lambda2
Convertendo para nanômetros (1 m = $ 10^9 $ nm):
lambda2 = 2,898 times 10^-34210 approx 6,88 times 10^-7 , m

Resposta

O novo comprimento de onda do máximo da distribuição espectral a $ T_2 $ é aproximadamente $ 6{,}88 \times 10^{-7} , \mathrm{m} $ ou $ 688 , \mathrm{nm} $.

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