Uma parede com 30 cm de espessura tem área superficial igual a 60 \mathrm{~m}^{2}. A superfície interna da parede está a 30^{\circ} \mathrm{C} e a externa está a 0^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a taxa de calor através da parede é igual a 3000 W , determine a condutividade térmica do material constituinte da parede.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Espessura da parede: 30\\ \text{cm}.
  • Área superficial da parede: 60\\ \text{m}^2.
  • Temperatura interna: 30^\circ\text{C}.
  • Temperatura externa: 0^\circ\text{C}.
  • Taxa de calor através da parede (potência conduzida): \dot Q = 3000\\ \text{W}.
O que pede o problema: determinar a condutividade térmica do material da parede (ou seja, o valor de k).

Passo 2

Para condução de calor em regime estacionário através de uma parede plana com gradiente de temperatura praticamente linear, usa-se a lei de Fourier (forma unidimensional). A expressão diferencial é
\dot Q = -k A \frac{dT}{dx},
onde:
  • \dot Q é a taxa de transferência de calor (potência) em \text{W};
  • k é a condutividade térmica do material em \mathrm{W/(m\cdot K)};
  • A é a área de transferência em \mathrm{m}^2;
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura em \mathrm{K/m};
  • o sinal negativo indica que o fluxo vai do quente para o frio.
Para uma parede de espessura L com diferença de temperatura \Delta T e aproximação de gradiente constante, a fórmula em forma integral (magnitudes) fica
\dot Q = k A \frac{\Delta T}{L}.

Passo 3

Isolando k na expressão anterior obtemos a fórmula que vamos usar:
k = \frac{\dot Q\, L}{A\, \Delta T}.
Aqui cada símbolo já foi definido: \dot Q (W), L (m), A (m ^2), \Delta T (K).

Passo 4

Agora converto e calculo passo a passo:
  • Converter a espessura: 30\\ \text{cm} = 0{,}30\\ \text{m}.
  • Calcular a diferença de temperatura: \Delta T = 30^\circ\text{C} - 0^\circ\text{C} = 30\\ \text{K} (mesmo valor numérico).
Substituindo na fórmula:
k = \frac{3000\\ \text{W}\times 0{,}30\\ \text{m}}{60\\ \text{m}^2 \times 30\\ \text{K}}.
Calculo o numerador e o denominador:
\text{numerador} = 3000\times 0{,}30 = 900, \qquad \text{denominador} = 60\times 30 = 1800.
Portanto
k = \frac{900}{1800} = 0{,}5.
Unidades: \dfrac{\text{W}\cdot\text{m}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}=\mathrm{W/(m\cdot K)}. Logo k=0{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem: o valor k=0{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} é um valor razoável para materiais de construção (por exemplo alguns tijolos ou concretos têm condutividades dessa ordem). Isso dá confiança de que o cálculo fez sentido. Força — você já tem a resposta e entendeu o raciocínio que dá pra reproduzir na prova!

Resposta

k = 0{,}5\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

Exercícios relacionados