A temperatura em um ponto (x, y, z) no espaço R^3 é T(x, y, z), medida em graus Celsius. Uma partícula que se move de acordo com as equações x=raiz1+t, y=2+t2 e^z=2 t, com t medido em segundo e x, y e z e m centímetros. A função temperatura satisfaz Tx(2,3,1)=4, Ty(2,3,1)=3 e Tz(2,3,1)=1. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho da partícula depois de três segundos?,

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da temperatura ao longo da trajetória da partícula no instante t=3. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, pois temos T(x,y,z) e x(t),y(t),z(t). Vamos usar que
dTdt=Tx,x'(t)+Ty,y'(t)+Tz,z'(t)

Passo 2

As funções da trajetória são
x(t)=raiz1+t, y(t)=2+t2, z(t)=2t
Derivando em relação a t obtemos
x'(t)=12raiz1+t, y'(t)=12, z'(t)=2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dTdt(t)=Txl(x(t),y(t),z(t)r),x'(t)+Tyl(x(t),y(t),z(t)r),y'(t)+Tzl(x(t),y(t),z(t)r),z'(t)

Passo 4

No instante t=3 temos x(3)=2, y(3)=2+3/2 e z(3)=6, mas os parciais foram dados em (2,3,1). Substituindo os valores fornecidos
Tx(2,3,1)=4, Ty(2,3,1)=3, Tz(2,3,1)=1
e as derivadas em t=3:
x'(3)=14, y'(3)=12, z'(3)=2,
segue
dTdt(3)=4cdot14+3cdot12+1cdot2=1+1,5+2=4,5

Resposta

tfrac92 °C/s

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