a) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
b) f é contínua para pontos (x, y) de \mathbb{R}^{2} tal que (x, y) \neq(0,0) ? Justifique.
c) f é contínua em \mathbb{R}^{2} ? Justifique
As perguntas são:
(a) f é contínua em (0,0)? Justifique.
(b) f é contínua para pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que (x,y)\neq(0,0)? Justifique.
(c) f é contínua em \mathbb{R}^2? Justifique.]
Passo 2
Lembrete do conceito (explicação passo a passo): dizer que f é contínua em um ponto (x_0,y_0) significa que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0).
Para provar continuidade, normalmente mostramos que o limite existe e é igual ao valor da função. Para mostrar que f não é contínua em um ponto, uma estratégia simples é achar duas trajetórias (caminhos) que aproximam o ponto e pelas quais os valores de f tendem a limites diferentes — isso prova que o limite total não existe. Outra ferramenta útil: polinômios em x,y são funções contínuas, e o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero.
Passo 3
Analisando a continuidade em (0,0) — cálculo de limites por caminhos:
Caminho y=0. Para y=0 e x\neq0,
f(x,0)=\frac{x-0}{x-0}=1.
Portanto, aproximando (x,y)\to(0,0) ao longo do eixo y=0 obtemos
\lim_{(x,0)\to(0,0)} f(x,0)=1.
Caminho x=y. Para x=y e y\neq0,
f(y,y)=\frac{y-y}{y-y^{3}}=\frac{0}{y-y^{3}}=0.
Portanto, aproximando (x,y)\to(0,0) ao longo da reta x=y obtemos
\lim_{(y,y)\to(0,0)} f(y,y)=0.
Como ao aproximar por dois caminhos diferentes obtivemos limites distintos (1 e 0), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Logo a igualdade exigida para continuidade em (0,0) falha (pois f(0,0)=1 e o limite não existe), e assim f não é contínua em (0,0).
Passo 4
Explicando de forma mais verbal e motivadora: para ser contínuo em (0,0) precisávamos que qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) produzisse f(x_n,y_n)\to1. Mas já achamos sequências (por exemplo y_n=0,\;x_n\to0) dando limite 1 e outras (por exemplo x_n=y_n\to0) dando limite 0. Portanto a desordem no valor do limite impede continuidade no ponto.
Passo 5
Agora analisar continuidade em pontos (x_0,y_0) com (x_0,y_0)\neq(0,0).
Observe que a fórmula usada fora da origem é um quociente de polinômios em x,y: numerador x-y e denominador x-y^{3}. Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}^2. Pelo fato geral: se g e h são contínuas em um ponto e h é não nula nesse ponto, então g/h é contínua nesse ponto. Portanto, quando o denominador no ponto não se anula, isto é, quando
x_0-y_0^{3}\neq0,
então f é a razão de duas funções contínuas com denominador não nulo, logo f é contínua em (x_0,y_0).
Passo 6
Ficar atento aos pontos onde o denominador se anula, isto é, à curva
\mathcal{C}=\{(x,y): x-y^{3}=0\}\quad\text{(isto é, }x=y^{3}\text{)}.é
Para pontos dessa curva (exceto possivelmente a origem), temos duas sub-casos:
Se em um ponto (x_0,y_0) da curva o numerador x_0-y_0 for diferente de zero, então a expressão \dfrac{x-y}{x-y^{3}} tenta dividir por zero e o valor da função naquela fórmula está indefinido — portanto não há continuidade (nem mesmo definição) nesse ponto.
Se em um ponto da curva também o numerador se anula, isto é, se x_0=y_0^{3} e x_0=y_0 ao mesmo tempo, então temos forma indeterminada 0/0 e é preciso estudar o limite. As soluções simultâneas de x=y^{3} e x=y satisfazem y=y^{3}, ou seja y(y^{2}-1)=0, dando y\in\{0,1,-1\}. O caso y=0 dá x=0 (a origem), já tratado. Restam os pontos (1,1) e (-1,-1). Vamos verificar um desses (o argumento é análogo para o outro):
Em (1,1): ao longo da reta x=y (com y\neq1) temos f(y,y)=0 e portanto o limite por essa reta tende a 0. Já ao aproximar por curvas do tipo y=1 e x\to1 (isto é, fixar y=1 e fazer x\to1), para y=1 e x\neq1 temos
f(x,1)=\frac{x-1}{x-1}=1,então o limite por essa trajetória tende a 1. Como os limites por duas trajetórias são diferentes (0 e 1), o limite total em (1,1) não existe. Portanto não é possível estender f ali de forma contínua (e, como a expressão original é indeterminada 0/0 em (1,1), o ponto não é de continuidade). Mesmo raciocínio em (-1,-1) produz limites distintos pelas mesmas trajetórias, logo também não é ponto de continuidade.
Portanto, pontos da curva x=y^{3} (fora a origem) não são pontos onde a expressão dada por \dfrac{x-y}{x-y^{3}} define uma função contínua: ou a expressão está indefinida (denominador zero e numerador não zero) ou o limite não existe (casos y=\pm1).
Passo 7
Síntese para a pergunta (b): f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) que satisfaça x-y^{3}\neq0. Nos pontos onde x-y^{3}=0 (a curva x=y^{3}) a expressão da definição falha (divisão por zero ou forma 0/0) e, em particular, nos pontos concretos (1,1) e (-1,-1) o limite não existe (mostrado por caminhos), logo não há continuidade aí.
Passo 8
Conclusão global para (c): como f não é contínua em (0,0) (Passo 3) e também apresenta problemas de definição/continuidade na curva x=y^{3} (por exemplo (1,1)), f não é contínua em toda \mathbb{R}^2.
Resposta
(a) Não; f não é contínua em (0,0) (os limites por y=0 e por x=y dão 1 e 0, respectivamente).
(b) f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) tal que x-y^{3}\neq0. Nos pontos em que x-y^{3}=0 (a curva x=y^{3}) a expressão fracassaria (divisão por zero) e, nos casos (1,1) e (-1,-1), o limite não existe (portanto não há continuidade).
(c) Não; f não é contínua em \mathbb{R}^2 (falha em (0,0) e em pontos da curva x=y^{3}).