A temperatura theta de uma reação química relaciona-se com o tempo (t) que dura a experiência, segundo a lei theta(t)=20 t^2+150 t+200t^2+10, com theta em graus Celsius e t em minutos). Determine:
O que aconteceria se a experiência durante muito tempo a longo prazo? Justifique sua resposta.

Passo 1

A questão nos dá a função que relaciona a temperatura theta com o tempo t:
Temos theta(t)=20t^2+150t+200t^2+10. O conteúdo aqui é cálculo de limite de função racional no infinito; vamos usar a regra de que, quando graus do numerador e denominador são iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador é o mesmo, vale a teoria: o limite quando ttoinfty é dado por
limttoinftyant^n+cdotsbnt^n+cdots=anbn
Aqui, o termo de maior grau no numerador é 20t^2 (coeficiente an=20) e no denominador é t^2 (coeficiente bn=1).

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso, calculamos:
limttoinftytheta(t)=limttoinfty20t^2+150t+200t^2+10 =201=20

Passo 4

Isso significa que, conforme deixamos a reação correr por um tempo muito grande, a temperatura se aproxima cada vez mais de 20 °C e fica praticamente estabilizada nesse valor.

Resposta

A temperatura tende a 20 °C quando o tempo cresce indefinidamente.

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