Resolva
y^3 d yd x=(y^4+1) cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y^3dydx=(y^4+1)cos x. O conteúdo é equação de variáveis separáveis: vamos isolar os termos em y de um lado e em x do outro, integrar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável temos
dydx=y^4+1y^3,cos x
ou seja
y^-3y^4+1,dy=cos x,dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos a substituição u=y^-2. Aí
du=-2y^-3dy
logo
y^-3dy=-tfrac12,du
e como y^4+1=1+u^2u^2, o integrando vira
y^-3y^4+1dy=-tfrac12integralu^21+u^2,du

Passo 4

Agora escrevemos
u^21+u^2=1-11+u^2
Então a integral é
-tfrac12integrall(1-11+u^2r)du=-tfrac12l(u-arctan ur)+C

Passo 5

Voltando a y, temos u=y^-2=1/y^2, logo o lado esquerdo integrado é
-12y^2+12arctanl(1y^2r)+C

Passo 6

O lado direito é simples:
integralcos x,dx=sin x+ C'

Passo 7

Igualando as integrais e absorvendo constantes num só C, obtemos
-12y^2+12arctanl(1y^2r)=sin x + C
Multiplicando por 2 e rearranjando chega-se à forma implícita da solução geral:
arctanl(1y^2r)-1y^2=2sin x + C

Resposta

arctanl(tfrac1y^2r)-tfrac1y^2=2sin x + C

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