(2.5) 1 - A velocidade máxima com que uma pessoa consegue correr é 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ela deseja pegar um trem que está parado na estação prestes a partir. Sabendo que está em cima da hora, a pessoa começa a correr, alcança sua velocidade máxima e consegue manter essa velocidade constante. Quando ela está a d=40 m da última porta do trem, ele parte com uma aceleração constante, a=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} afastando-se da pessoa.
(a) (0,7) O passageiro consegue alcançar a porta? Justifique sua resposta.
(b) (0,8) Qual é a distância máxima dm que pode haver entre o passageiro e a última porta do trem para que este seja alcançado?
(c) (\mathbf{1 , 0}) Escolhendo para origem do sistema de coordenadas a posição da pessoa no instante em que o trem parte, faça gráficos da posição do passageiro e do trem pelo tempo para \mathrm{d}=16 \mathrm{~m}, \mathrm{~d}=32 \mathrm{~m} e \mathrm{d}=64 \mathrm{~m}. Coloque todas as curvas no mesmo gráfico.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática unidimensional: o passageiro corre com velocidade constante de v=8\\ \mathrm{m/s} e, no instante t=0, está a uma distância d da última porta do trem. Nesse mesmo instante o trem parte do repouso com aceleração constante a=1\\ \mathrm{m/s^2}.
Para saber se o passageiro alcança a porta precisamos escrever as equações horárias da posição do passageiro x_p(t) e da porta do trem x_T(t) e ver se existe algum t>0 em que x_p(t)=x_T(t).

Passo 2

Escolhendo a origem no ponto onde a porta do trem está em t=0, as posições são
x_p(t) = -d + v\,t = -d + 8\,t,
x_T(t) = \tfrac12\,a\,t^2 = \tfrac12\,t^2.
Para “pegar” a porta queremos resolver
-\,d + 8\,t = \tfrac12\,t^2.
Reescrevendo em forma de equação quadrática:
\tfrac12\,t^2 - 8\,t + d = 0.

Passo 3

(a) Para d=40\\ \mathrm{m} a equação é
\tfrac12\,t^2 - 8\,t + 40 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 -16\,t +80 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-16)^2 - 4\cdot1\cdot80 = 256 - 320 = -64 <0,
logo não há solução real. Isso significa que x_p(t)<x_T(t) para todo t e, portanto, o passageiro não consegue alcançar a porta.

Passo 4

(b) Para que haja solução real é necessário \Delta\ge0, ou seja
(-16)^2 -4\cdot1\cdot(2d) \ge 0 \;\Longrightarrow\; 256 - 8\,d \ge 0 \;\Longrightarrow\; d \le \frac{256}{8} = 32\\ \mathrm{m}.
Em outras palavras, a distância máxima é
d_m = \frac{v^2}{2a} = \frac{8^2}{2\cdot1} = 32\\ \mathrm{m}.

Passo 5

(c) Agora escolhemos a origem na posição do passageiro em t=0. As equações tornam-se
x_p(t) = v\,t = 8\,t, \qquad x_T(t) = d + \tfrac12\,t^2.
No mesmo gráfico desenhamos:
  • A reta x_p(t)=8\,t.
  • As parábolas x_T(t)=d+\tfrac12\,t^2 para d=16, d=32 e d=64.
Com isso vemos:
  • Para d=16 a reta e a parábola se cortam em dois instantes (o primeiro em t\approx2{,}34\\ \mathrm{s}), indicando que o passageiro alcança e depois ultrapassa o trem.
  • Para d=32 há uma única tangência em t=8\\ \mathrm{s} (caso limite): toca e não ultrapassa.
  • Para d=64 não há interseção: o passageiro nunca alcança.

Resposta

(a) Não, pois para d=40 o discriminante da equação de encontro é negativo.
(b) d_m = 32\\ \mathrm{m}.
(c) Gráfico de x_p(t)=8t (reta) e de x_T(t)=d+\tfrac12t^2 para d=16,\,32,\,64. As parábolas começam em x=16,32,64 e curvam para cima; a reta cruza a de d=16 duas vezes, toca a de d=32 uma vez (tangência) e não cruza a de d=64.

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