(2.5) 1 - A velocidade máxima com que uma pessoa consegue correr é
. Ela deseja pegar um trem que está parado na estação prestes a partir. Sabendo que está em cima da hora, a pessoa começa a correr, alcança sua velocidade máxima e consegue manter essa velocidade constante. Quando ela está a d=40 m da última porta do trem, ele parte com uma aceleração constante,
afastando-se da pessoa.
(a)
O passageiro consegue alcançar a porta? Justifique sua resposta.
(b)
Qual é a distância máxima dm que pode haver entre o passageiro e a última porta do trem para que este seja alcançado?
(c)
Escolhendo para origem do sistema de coordenadas a posição da pessoa no instante em que o trem parte, faça gráficos da posição do passageiro e do trem pelo tempo para
e
. Coloque todas as curvas no mesmo gráfico.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata de cinemática unidimensional: o passageiro corre com velocidade constante de
e, no instante
, está a uma distância
da última porta do trem. Nesse mesmo instante o trem parte do repouso com aceleração constante
.
Para saber se o passageiro alcança a porta precisamos escrever as equações horárias da posição do passageiro e da porta do trem
e ver se existe algum
em que
.
Para saber se o passageiro alcança a porta precisamos escrever as equações horárias da posição do passageiro
Passo 2
Escolhendo a origem no ponto onde a porta do trem está em
, as posições são
Para “pegar” a porta queremos resolver
Reescrevendo em forma de equação quadrática:
Passo 3
(a) Para
a equação é
O discriminante é
logo não há solução real. Isso significa que
para todo
e, portanto, o passageiro não consegue alcançar a porta.
Passo 4
(b) Para que haja solução real é necessário
, ou seja
Em outras palavras, a distância máxima é
Passo 5
(c) Agora escolhemos a origem na posição do passageiro em
. As equações tornam-se
No mesmo gráfico desenhamos:
- A reta
. - As parábolas
para , e .
Com isso vemos:
- Para
a reta e a parábola se cortam em dois instantes (o primeiro em ), indicando que o passageiro alcança e depois ultrapassa o trem. - Para
há uma única tangência em (caso limite): toca e não ultrapassa. - Para
não há interseção: o passageiro nunca alcança.
Resposta
(a) Não, pois para
o discriminante da equação de encontro é negativo.
(b)
(c) Gráfico de (reta) e de
para
. As parábolas começam em
e curvam para cima; a reta cruza a de
duas vezes, toca a de
uma vez (tangência) e não cruza a de
.
(b)
(c) Gráfico de