Sabe-se que 20 \% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não sobreviventes:
a) Qual a distribuição de X ?
b) Calcular E(X) e V A R(X).
c) Calcular P(2<X \leq 4). (R:0,42356)
d) Calcular P(X \geq 2). (R:0,93082)

Passo 1

O enunciado diz que aplicamos um tratamento em 20 animais e que cada um tem probabilidade 0,20 de não sobreviver. Definimos X como o número de animais que não sobrevivem. O conteúdo é distribuição binomial, e vamos precisar das fórmulas de esperança, variância e de probabilidades nessa distribuição.

Passo 2

Como cada animal sobrevive ou não de forma independente com probabilidade de “fracasso” p=0,20 em n=20 experimentos, X segue uma distribuição binomial. Escrevemos
X \sim \mathrm{Binomial}(n=20,\;p=0,20).

Passo 3

Para a binomial valem as fórmulas
E(X) = n\,p,
\mathrm{Var}(X) = n\,p\,(1-p).
Substituindo n=20 e p=0,20, obtemos
E(X)=20\cdot0,20=4,
\mathrm{Var}(X)=20\cdot0,20\cdot0,80=3,2.

Passo 4

Queremos P(2 < X \le 4)=P(X=3)+P(X=4). Na binomial
P(X=k)=\binom{20}{k} (0,20)^k (0,80)^{20-k}.
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P(2 < X \le 4) =\binom{20}{3}(0,20)^3(0,80)^{17} +\binom{20}{4}(0,20)^4(0,80)^{16} \approx0,42356.

Passo 5

Para P(X\ge2) usamos o complementar:
P(X\ge2)=1-P(X\le1) =1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Ainda
P(X=0)=(0,80)^{20},\quad P(X=1)=20\,(0,20)\,(0,80)^{19},
então
P(X\ge2)\approx0,93082.

Resposta

(a) X\sim\mathrm{Binomial}(20,0,20).
(b) E(X)=4, \mathrm{Var}(X)=3,2.
(c) P(2<X\le4)\approx0,42356.
(d) P(X\ge2)\approx0,93082.

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