Uma v.a. contínua X tem f.d.p. dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{k}{2} e^{-x}, \quad \text { se } \quad x \geq 0 \\\\ 0, \quad \text { se } \quad x<0 \end{array}\right.
a) Calcular o valor de k .
b) Determinar \mathrm{F}(\mathrm{x}).
c) Determinar E(X) e \operatorname{Var}(X).

Passo 1

O enunciado dá uma v.a. contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{k}{2}e^{-x},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0, \end{cases}
e pede (a) o valor de k\], (b) a função de distribuição \(F(x) e (c) E(X) e \mathrm{Var}(X). Vamos usar a condição de normalização da densidade, cálculo de integrais para a CDF e para os momentos.

Passo 2

Para achar k impomos
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{k}{2}e^{-x}dx =1.
Como \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1, segue
\frac{k}{2}\cdot1=1 \quad\Longrightarrow\quad k=2.

Passo 3

A função de distribuição é
F(x)=P(X\le x) =\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
Para x<0 temos F(x)=0. Para x\ge0,
F(x) =\int_{0}^{x} \frac{2}{2}e^{-t}dt =\int_{0}^{x}e^{-t}dt =1-e^{-x}.

Passo 4

Com f(x)=e^{-x} em x\ge0, calculamos
E(X) =\int_{0}^{\infty}x e^{-x}dx
fazendo integração por partes u=x, dv=e^{-x}dx obtemos E(X)=1. Para a variância precisamos de E(X^2):
E(X^2) =\int_{0}^{\infty}x^2e^{-x}dx =2,
pois é o fatorial 2!. Logo
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =2-1^2 =1.

Resposta

a) k=2\) b) \[F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\\ 1-e^{-x},&x\ge0, \end{cases}
c) E(X)=1\] e \(\mathrm{Var}(X)=1.

Exercícios relacionados