O tempo de prateleira (tempo até estragar, vida útil), em dias, de um certo tipo de alimento in natura possui distribuição Weibull \operatorname{com} \beta=2,5 e \delta=12. Qual é a probabilidade que este alimento estrague antes de 9 dias?

Passo 1

O enunciado dá que o tempo de prateleira T (em dias) segue uma distribuição Weibull com parâmetro de forma \beta=2{,}5 e parâmetro de escala \delta=12. A pergunta é: qual a probabilidade de que o alimento estrague antes de 9 dias? Em símbolos, queremos calcular
\mathbb{P}(T<9).
Dados fornecidos:
\beta=2{,}5,\qquad \delta=12,\qquad \text{valor de interesse } t=9.

Passo 2

Breve explicação do que é a distribuição Weibull (passo didático): a Weibull é uma distribuição contínua usada para tempos até falha. Tem duas formas importantes:
  • a função densidade de probabilidade (PDF), que dá a “taxa” instantânea de ocorrência;
  • a função de distribuição acumulada (CDF), que dá a probabilidade de a variável ser menor que um valor t.
As fórmulas (para t\ge0) são:
\text{PDF: } f(t)=\frac{\beta}{\delta}\left(\frac{t}{\delta}\right)^{\beta-1}\exp\!\Big(-\big(\tfrac{t}{\delta}\big)^{\beta}\Big),
\text{CDF: } F(t)=\mathbb{P}(T\le t)=1-\exp\!\Big(-\big(\tfrac{t}{\delta}\big)^{\beta}\Big).
Aqui \beta é o parâmetro de forma (controla se a taxa de falha aumenta ou diminui com o tempo) e \delta é o parâmetro de escala (medida típica de tempo). Para responder “estragar antes de 9 dias” usamos a CDF em t=9.

Passo 3

Escrevendo a probabilidade pedida em termos da CDF:
\mathbb{P}(T<9)=F(9)=1-\exp\!\Big(-\big(\tfrac{9}{12}\big)^{2{,}5}\Big).
Agora vamos calcular passo a passo o valor numérico dessa expressão.

Passo 4

Calcule primeiro a potência \big(\tfrac{9}{12}\big)^{2{,}5}. Notando que \tfrac{9}{12}=0{,}75, temos
0{,}75^{2{,}5}=0{,}75^{2}\cdot 0{,}75^{0{,}5}.
Calculando:
0{,}75^{2}=0{,}5625, \qquad 0{,}75^{0{,}5}=\sqrt{0{,}75}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254.
Multiplicando:
0{,}75^{2{,}5}=0{,}5625\times0{,}8660254\approx0{,}486264.

Passo 5

Agora calcule \exp\!\big(-0{,}486264\big). Uma forma prática sem calculadora é usar uma aproximação baseada em e^{-0{,}5}, já que -0{,}486264=-0{,}5+0{,}013736. Assim
\exp\!\big(-0{,}486264\big)=\exp(-0{,}5)\cdot\exp(0{,}013736).
Sabemos que \exp(-0{,}5)\approx0{,}60653. Para \exp(0{,}013736) fazemos uma aproximação pela expansão linear (porque o expoente é pequeno):
\exp(0{,}013736)\approx 1+0{,}013736 \approx 1{,}013736 \quad(\text{termos de ordem superior são muito pequenos}).ã
Multiplicando:
\exp(-0{,}486264)\approx 0{,}60653\times1{,}013736\approx0{,}6149.
(Se você usar uma aproximação um pouco mais refinada dá cerca de 0{,}6146; ambas concordam numa aproximação próxima de 0{,}615.)

Passo 6

Finalmente:
\mathbb{P}(T<9)=1-\exp\!\big(-0{,}486264\big)\approx 1-0{,}6149=0{,}3851.
Interpretação: cerca de 38{,}5\% dos alimentos desse tipo estragam antes de 9 dias.

Resposta

0{,}3851

Exercícios relacionados