O tempo de prateleira (tempo até estragar, vida útil), em dias, de um certo tipo de alimento in natura possui distribuição Weibull
e
. Qual é a probabilidade que este alimento estrague antes de 9 dias?
Passo 1
O enunciado dá que o tempo de prateleira
(em dias) segue uma distribuição Weibull com parâmetro de forma
e parâmetro de escala
. A pergunta é: qual a probabilidade de que o alimento estrague antes de
dias? Em símbolos, queremos calcular
Dados fornecidos:
Passo 2
Breve explicação do que é a distribuição Weibull (passo didático): a Weibull é uma distribuição contínua usada para tempos até falha. Tem duas formas importantes:
- a função densidade de probabilidade (PDF), que dá a “taxa” instantânea de ocorrência;
- a função de distribuição acumulada (CDF), que dá a probabilidade de a variável ser menor que um valor
.
As fórmulas (para
) são:
Aqui
é o parâmetro de forma (controla se a taxa de falha aumenta ou diminui com o tempo) e
é o parâmetro de escala (medida típica de tempo). Para responder “estragar antes de
dias” usamos a CDF em
.
Passo 3
Escrevendo a probabilidade pedida em termos da CDF:
Agora vamos calcular passo a passo o valor numérico dessa expressão.
Passo 4
Calcule primeiro a potência
. Notando que
, temos
Calculando:
Multiplicando:
Passo 5
Agora calcule
. Uma forma prática sem calculadora é usar uma aproximação baseada em
, já que
. Assim
Sabemos que
. Para
fazemos uma aproximação pela expansão linear (porque o expoente é pequeno):
Multiplicando:
(Se você usar uma aproximação um pouco mais refinada dá cerca de
; ambas concordam numa aproximação próxima de
.)
Passo 6
Finalmente:
Interpretação: cerca de
dos alimentos desse tipo estragam antes de
dias.