O tempo até a falha de um microchip segue uma distribuição exponencial com média de 2 anos.
  1. Determine a probabilidade de o microchip falhar antes de 1 ano.
  2. Qual a probabilidade de ele durar mais de 3 anos?
  3. Se forem instalados 100 microchips, quantos devem falhar antes de 1.5 anos?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo até a falha de um microchip é exponencial com média de 2 anos. A matéria aqui é Distribuição Exponencial, que usa um parâmetro λ igual a 1/médiaé. Ou seja, lambda = 1/2 ano⁻¹.
O que vamos precisar:
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da exponencial: F(t) = 1 - e^-lambda t
    - A função de sobrevivência (complemento da CDF):
    S(t) = P(T>t) = e^-lambda t
  • Que o número de falhas em n chips segue, em média, ncdot P(falha antes de t).

Passo 2

Queremos P(T<1). Usamos a CDF:
P(T<1) = F(1) = 1 - e^-lambdacdot1 = 1 - e^-tfrac12cdot1 = 1 - e^-0.5 approx 1 - 0.6065 = 0.3935

Passo 3

Agora P(T>3) é a sobrevivência em 3 anos:
P(T>3) = S(3) = e^-lambdacdot3 = e^-tfrac12cdot3 = e^-1.5 approx 0.2231

Passo 4

Com 100 chips, o número médio que falha antes de 1.5 anos é
100 times P(T<1.5) = 100 l(1 - e^-lambdacdot1.5r) = 100l(1 - e^-tfrac12cdot1.5r) = 100l(1 - e^-0.75r) approx 100(1 - 0.4724) = 52.76

Resposta

  1. P(T<1) approx 0.3935
  2. P(T>3) approx 0.2231
  3. Em média, cerca de 52.8 chips (ou seja, aproximadamente 53) falham antes de 1.5 anos.

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