O tempo até a falha de um microchip segue uma distribuição exponencial com média de 2 anos.
Se forem instalados 100 microchips, quantos devem falhar antes de 1.5 anos?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo até a falha de um microchip segue uma distribuição exponencial com média de 2 anos. A gente vai instalar 100 microchips e quer saber quantos, em média, devem falhar antes de 1,5 anos.
Conteúdo: distribuição exponencial e expectativa de variáveis indicadoras (ou seja, usar que cada chip tem probabilidade de falhar antes de 1,5,anos e que a soma dessas “falhas” tem expectativa ).

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da forma da distribuição exponencial. Se a média é 2 anos, o parâmetro lambda = 1média = 12;(ano^-1) (taxa de falha) é
P(T < t) ;=; 1 - e^-lambda t é
O que vai valer pra probabilidade de falhar antes de um tempo é

Passo 3

Agora, calculamos a probabilidade de um único chip falhar antes de p ;=; P(T < 1,5) ;=; 1 - e^-12times 1,5 ;=; 1 - e^-0,75 anos:

Passo 4

Para 100 chips independentes, a quantidade de falhas E[X] ;=; 100 times p ;=; 100 l(1 - e^-0,75r) antes de 1,5 anos tem expectativa

Passo 5

Basta só calcular numericamente:
e^-0,75approx 0,4724 Longrightarrow p approx 1 - 0,4724 = 0,5276,
então
E[X] approx 100 times 0,5276 = 52,76

Resposta

Em média, devem falhar cerca de 53 microchips antes de 1,5 anos.

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