Suponha que o tempo médio entre o pedido e o atendimento num grande restaurante seja de 10 minutos. Suponha ainda que esse tempo tenha distribuição exponencial.
a) Determine a probabilidade de espera superior a 10 minutos.
b) Determine a probabilidade de espera não superior a 10 minutos.
c) Determine a probabilidade de espera não superior a 3 minutos.
a) Determine a probabilidade de espera superior a 10 minutos.
b) Determine a probabilidade de espera não superior a 10 minutos.
c) Determine a probabilidade de espera não superior a 3 minutos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- O tempo de espera (tempo entre pedido e atendimento) tem média igual a
minutos. - O enunciado diz que esse tempo tem distribuição exponencial.
- O tempo de espera (tempo entre pedido e atendimento) tem média igual a
-
O que o enunciado pede:
- (a) A probabilidade de espera superior a
minutos, ou seja . - (b) A probabilidade de espera não superior a
minutos, ou seja . - (c) A probabilidade de espera não superior a
minutos, ou seja .
- (a) A probabilidade de espera superior a
Passo 2
Explicar a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras).
- Notação: seja
a variável aleatória que representa o tempo de espera, em minutos. - Para uma variável com distribuição exponencial usa-se a seguinte forma padrão:
- Função densidade de probabilidade (PDF) para
: onde é a taxa (em unidades de “por minuto”). - Função de distribuição acumulada (CDF):
- Função sobrevivência (complemento da CDF):
- Função densidade de probabilidade (PDF) para
- A média (valor esperado) de uma exponencial está ligada a
por: Aqui é a média do tempo de espera em minutos.
Passo 3
Determinar
a partir da média dada.
- O enunciado dá
minutos. - Usando
obtemos: - Conclusão: a taxa é
(por minuto). Essa será usada nas fórmulas da etapa anterior.
Passo 4
Calcular a probabilidade pedida em (a):
.
- Usamos a função sobrevivência:
- Substituindo
: - Se desejar uma aproximação decimal (útil na prova se permitido):
- Interpretação rápida: cerca de
das esperas ultrapassam minutos.
Passo 5
Calcular a probabilidade pedida em (b):
.
- Usamos a CDF:
- Substituindo
: - Aproximação decimal:
- Interpretação: cerca de
das esperas são de até minutos.
Passo 6
Calcular a probabilidade pedida em (c):
.
- Usamos a CDF com
: - Substituindo
: - Aproximação decimal:
- Interpretação: cerca de
das esperas são de até minutos.
Passo 7
Resumo rápido de como usar isso na prova (dica prática e motivação).
- Passos práticos quando ver “média” e “exponencial”:
- Calcule
. - Para
use . - Para
use .
- Calcule
- Não se assuste com expoentes: se a prova permite, deixe a resposta em termos de
( , , etc.). Se pedirem decimal, memorize ou calcule rápido as aproximações e . - Força aí — você consegue! Essas aplicações de exponencial aparecem bastante e seguem sempre o mesmo roteiro.