Suponha que o tempo médio entre o pedido e o atendimento num grande restaurante seja de 10 minutos. Suponha ainda que esse tempo tenha distribuição exponencial.
a) Determine a probabilidade de espera superior a 10 minutos.
b) Determine a probabilidade de espera não superior a 10 minutos.
c) Determine a probabilidade de espera não superior a 3 minutos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • O tempo de espera (tempo entre pedido e atendimento) tem média igual a 10 minutos.
    • O enunciado diz que esse tempo tem distribuição exponencial.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) A probabilidade de espera superior a 10 minutos, ou seja P(X>10).
    • (b) A probabilidade de espera não superior a 10 minutos, ou seja P(X\le 10).
    • (c) A probabilidade de espera não superior a 3 minutos, ou seja P(X\le 3).

Passo 2

Explicar a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras).
  • Notação: seja X a variável aleatória que representa o tempo de espera, em minutos.
  • Para uma variável com distribuição exponencial usa-se a seguinte forma padrão:
    • Função densidade de probabilidade (PDF) para t\ge 0: f(t)=\lambda e^{-\lambda t},onde \lambda é a taxa (em unidades de “por minuto”).
    • Função de distribuição acumulada (CDF): F(t)=P(X\le t)=1-e^{-\lambda t}.
    • Função sobrevivência (complemento da CDF): S(t)=P(X>t)=e^{-\lambda t}.
  • A média (valor esperado) de uma exponencial está ligada a \lambda por: E[X]=\frac{1}{\lambda}.Aqui E[X] é a média do tempo de espera em minutos.

Passo 3

Determinar \lambda a partir da média dada.
  • O enunciado dá E[X]=10 minutos.
  • Usando \displaystyle E[X]=\frac{1}{\lambda} obtemos: \lambda=\frac{1}{E[X]}=\frac{1}{10}=0,1.
  • Conclusão: a taxa é \lambda=0,1 (por minuto). Essa \lambda será usada nas fórmulas da etapa anterior.

Passo 4

Calcular a probabilidade pedida em (a): P(X>10).
  • Usamos a função sobrevivência: P(X>10)=e^{-\lambda\cdot 10}.
  • Substituindo \lambda=0,1: P(X>10)=e^{-0,1\cdot 10}=e^{-1}.
  • Se desejar uma aproximação decimal (útil na prova se permitido): e^{-1}\approx 0,3679.
  • Interpretação rápida: cerca de 36{,}79\% das esperas ultrapassam 10 minutos.

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida em (b): P(X\le 10).
  • Usamos a CDF: P(X\le 10)=1-e^{-\lambda\cdot 10}.
  • Substituindo \lambda=0,1: P(X\le 10)=1-e^{-1}.
  • Aproximação decimal: 1-e^{-1}\approx 1-0,3679=0,6321.
  • Interpretação: cerca de 63{,}21\% das esperas são de até 10 minutos.

Passo 6

Calcular a probabilidade pedida em (c): P(X\le 3).
  • Usamos a CDF com t=3: P(X\le 3)=1-e^{-\lambda\cdot 3}.
  • Substituindo \lambda=0,1: P(X\le 3)=1-e^{-0,1\cdot 3}=1-e^{-0,3}.
  • Aproximação decimal: e^{-0,3}\approx 0,7408\quad\Rightarrow\quad P(X\le 3)\approx 1-0,7408=0,2592.
  • Interpretação: cerca de 25{,}92\% das esperas são de até 3 minutos.

Passo 7

Resumo rápido de como usar isso na prova (dica prática e motivação).
  • Passos práticos quando ver “média” e “exponencial”:
    1. Calcule \lambda=\dfrac{1}{\text{média}}é.
    2. Para P(X>t) use e^{-\lambda t}.
    3. Para P(X\le t) use 1-e^{-\lambda t}.
  • Não se assuste com expoentes: se a prova permite, deixe a resposta em termos de e ( e^{-1}, 1-e^{-0,3}, etc.). Se pedirem decimal, memorize ou calcule rápido as aproximações e^{-1}\approx0,3679 e e^{-0,3}\approx0,7408.
  • Força aí — você consegue! Essas aplicações de exponencial aparecem bastante e seguem sempre o mesmo roteiro.

Resposta

P(X>10)=e^{-1}\approx 0,3679
P(X\le 10)=1-e^{-1}\approx 0,6321
P(X\le 3)=1-e^{-0,3}\approx 0,2592

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