O tempo entre chegadas de fregueses à padaria da faculdade é uma v.a. exponencial, com tempo médio 8 minutos. A função de densidade de probabilidade é f(t)=cl(1 / 8) e^-t / 8 & se t >= 0 0 & se t<0
Responda:
Qual a probabilidade de um fregues chegar antes de 10 minutos? square entre 2 e 6 minutos? square Qual é o percentil 90 % do tempo entre chegadas? square Qual é o desvio padrão do tempo entre chegadas dos fregueses? square

Passo 1

O enunciado diz que o tempo entre chegadas T é uma variável aleatória exponencial com tempo médio mu=8 minutos. Isso implica que a taxa é
lambda = 1mu = 18
A função densidade é
f(t)=lambda e^-lambda t, t>=0,
e a função de distribuição acumulada (CDF) é
F(t)=P(T<= t)=1-e^-lambda t
Vamos usar essas fórmulas para calcular:
(a) P(T<10),
(b) P(2<T<6),
(c) o percentil de ordem 0,9,
(d) o desvio padrão de T.

Passo 2

Para a probabilidade de chegar antes de 10 minutos, usamos
P(T<10)=F(10)=1-e^-lambdacdot10 =1-e^-tfrac108

Passo 3

Para a probabilidade de chegar entre 2 e 6 minutos, usamos
P(2<T<6)=F(6)-F(2) =l(1-e^-tfrac68r)-l(1-e^-tfrac28r) =e^-tfrac28-e^-tfrac68

Passo 4

Para encontrar o percentil de ordem 0,9, resolvemos
F(t0,9)=0,9 Longrightarrow 1-e^-tfract0,98=0,9 Longrightarrow e^-tfract0,98=0,1 Longrightarrow t0,9=-8ln(0,1)=8ln(10)

Passo 5

Para uma exponencial, a variância é sigma^2=1/lambda^2 e o desvio padrão é
sigma=1lambda=8 minutos

Resposta

(a) P(T<10)=1-e^-10/8approx0,7135
(b) P(2<T<6)=e^-2/8-e^-6/8approx0,3064
(c) t0,9=8ln(10)approx18,42 minutos
(d) sigma=8 minutos

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