Considere omega e T a frequência angular e período de uma oscilação. Mostre que
1T integral0^T sin ^2(omega t) d t=12
Dica: cos ^2 x=12[1+cos 2 x] ; sin ^2 x=12[1-cos 2 x].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função de oscilação senoidal com frequência angular omega e período T. Precisamos calcular a média da função sin^2(omega t) ao longo de um período completo T e mostrar que esse valor é igual a 12. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração e uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar sin^2x.

Passo 2

Vamos começar aplicando a dica que foi dada: a identidade trigonométrica para sin^2x. Sabemos que:
sin^2x = 12(1 - cos 2x)
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado do seno em uma expressão mais simples que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo sin^2(omega t) pela identidade trigonométrica, temos:
sin^2(omega t) = 12(1 - cos 2omega t)
Agora, a integral que precisamos calcular fica:
1T integral0^T sin^2(omega t) , dt = 1T integral0^T 12(1 - cos 2omega t) , dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
1T integral0^T 12(1 - cos 2omega t) , dt = 12T integral0^T (1 - cos 2omega t) , dt
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
12T ( integral0^T 1 , dt - integral0^T cos 2omega t , dt )

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 1 em relação a t de 0 a T:
integral0^T 1 , dt = [t]0^T = T - 0 = T
Segundo, a integral de cos 2omega t:
integral0^T cos 2omega t , dt = [ sin 2omega t2omega ]0^T = sin 2omega T2omega - sin 02omega = sin 2omega T2omega

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão:
12T ( T - sin 2omega T2omega ) = 12 - sin 2omega T4omega T
Agora, precisamos analisar o termo sin 2omega T4omega T.

Passo 7

Sabemos que para um período completo de oscilação, o período T está relacionado à frequência angular pela fórmula:
T = 2piomega
Substituindo T na expressão 2omega T, temos:
2omega T = 2omega cdot 2piomega = 4pi
Portanto, sin 2omega T = sin 4pi = 0, já que o seno de múltiplos de 2pi é zero.

Passo 8

Com isso, o termo sin 2omega T4omega T se torna zero:
12 - 0 = 12

Resposta

Portanto,
1T integral0^T sin^2(omega t) , dt = 12

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