Considere
e
a frequência angular e período de uma oscilação. Mostre que
Dica:
.
Dica:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função de oscilação senoidal com frequência angular
e período
. Precisamos calcular a média da função
ao longo de um período completo
e mostrar que esse valor é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração e uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar
.
Passo 2
Vamos começar aplicando a dica que foi dada: a identidade trigonométrica para
. Sabemos que:
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado do seno em uma expressão mais simples que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Substituindo
pela identidade trigonométrica, temos:
Agora, a integral que precisamos calcular fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 1 em relação a
de 0 a
:
Segundo, a integral de
:
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão:
Agora, precisamos analisar o termo
.
Passo 7
Sabemos que para um período completo de oscilação, o período
está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo
na expressão
, temos:
Portanto,
, já que o seno de múltiplos de
é zero.
Passo 8
Com isso, o termo
se torna zero:
Resposta
Portanto,