O tempo \Delta t para 10 oscilações de um pêndulo simples foi medido 8 vezes usando um cronômetro digital. Os resultados das leituras \Delta t_{i} estão na tabela a seguir, junto com os resultados T_{i}=\frac{\Delta t_{i}}{10} para o período T do pêndulo. determine a melhor estimativa para T e a sua incerteza padrão u(T). Expressar o resultado final conforme o recomendado para a expressão de resultados de medições.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
\Delta t[\mathrm{~s}]
32,75
32,40
29,82
30,22
31,57
31,59
30,02
31,95
\mathrm{~T}[\mathrm{~s}]
3,275
3,240
2,982
3,022
3,157
3,159
3,002
3,195
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a melhor estimativa para o período T do pêndulo e a sua incerteza padrão u(T). Foram medidas 8 vezes as durações de 10 oscilações \Delta t_i e já foram divididas por 10 para obter T_i=\frac{\Delta t_i}{10}. Os dados fornecidos são, em segundos:
Portanto as perguntas são: (1) qual é a melhor estimativa de T a partir destes oito valores? (2) qual é a incerteza padrão dessa estimativa, u(T)?
Passo 2
Definição e fórmula da melhor estimativa (média aritmética).
A melhor estimativa do período, quando temos várias medições independentes da mesma grandeza, é a média aritmética. A fórmula é
\bar{T}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}T_i,
onde n é o número de medições (aqui n=8) e T_i são as medições individuais. Vou calcular a soma e a média passo a passo.
Portanto a estimativa pontual (média) é \bar{T}=3,129\\ \mathrm{s}.
Passo 3
Definição da incerteza padrão da média e fórmula usada.
A dispersão das medições é quantificada pelo desvio padrão amostral s. A incerteza padrão da média (também chamada de incerteza tipo A) é
Explico rapidamente: \bigl(T_i-\bar{T}\bigr) é o desvio da i-ésima medição em relação à média; elevando ao quadrado e somando obtemos a soma dos quadrados dos desvios; dividir por n-1 dá a variância amostral não tendenciosa; a raiz dá o desvio padrão. Dividimos s por \sqrt{n} porque a média de n medições tem dispersão menor que as medições individuais — concretamente a redução é por um fator \sqrt{n}.
Passo 4
Cálculo dos desvios e dos quadrados dos desvios (mostro cada termo para ficar bem claro).
Primeiro calcule os desvios d_i=T_i-\bar{T}:
Arredondamento e apresentação do resultado conforme recomendação para resultados de medições.
Regras usuais: a incerteza padrão é apresentada normalmente com uma ou duas cifras significativas; se usamos uma cifra significativa, aqui u(\bar{T})\approx0,04\\ \mathrm{s}. A média deve ser arredondada com a mesma ordem decimal da incerteza, portanto arredondamos \bar{T}=3,129\\ \mathrm{s} para dois decimais: 3,13\\ \mathrm{s}.
Assim a apresentação recomendada é
T=(3,13\pm0,04)\\ \mathrm{s},
onde a incerteza indicada é a incerteza padrão da média u(\bar{T}).