O tempo \Delta t para 10 oscilações de um pêndulo simples foi medido 8 vezes usando um cronômetro digital. Os resultados das leituras \Delta t_{i} estão na tabela a seguir, junto com os resultados T_{i}=\frac{\Delta t_{i}}{10} para o período T do pêndulo. determine a melhor estimativa para T e a sua incerteza padrão u(T). Expressar o resultado final conforme o recomendado para a expressão de resultados de medições.
i 1 2 3 4 5 6 7 8
\Delta t[\mathrm{~s}] 32,75 32,40 29,82 30,22 31,57 31,59 30,02 31,95
\mathrm{~T}[\mathrm{~s}] 3,275 3,240 2,982 3,022 3,157 3,159 3,002 3,195

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a melhor estimativa para o período T do pêndulo e a sua incerteza padrão u(T). Foram medidas 8 vezes as durações de 10 oscilações \Delta t_i e já foram divididas por 10 para obter T_i=\frac{\Delta t_i}{10}. Os dados fornecidos são, em segundos:
\begin{array}{cccccccc} T_1=3,275 & T_2=3,240 & T_3=2,982 & T_4=3,022 & T_5=3,157 & T_6=3,159 & T_7=3,002 & T_8=3,195 \end{array}
Portanto as perguntas são: (1) qual é a melhor estimativa de T a partir destes oito valores? (2) qual é a incerteza padrão dessa estimativa, u(T)?

Passo 2

Definição e fórmula da melhor estimativa (média aritmética).
A melhor estimativa do período, quando temos várias medições independentes da mesma grandeza, é a média aritmética. A fórmula é
\bar{T}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}T_i,
onde n é o número de medições (aqui n=8) e T_i são as medições individuais. Vou calcular a soma e a média passo a passo.
Soma dos valores:
\sum_{i=1}^{8}T_i = 3,275+3,240+2,982+3,022+3,157+3,159+3,002+3,195 = 25,032.
Agora a média:
\bar{T}=\frac{25,032}{8}=3,129\\ \mathrm{s}.
Portanto a estimativa pontual (média) é \bar{T}=3,129\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Definição da incerteza padrão da média e fórmula usada.
A dispersão das medições é quantificada pelo desvio padrão amostral s. A incerteza padrão da média (também chamada de incerteza tipo A) é
u(\bar{T})=\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio padrão amostral definido por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(T_i-\bar{T}\bigr)^2}.
Explico rapidamente: \bigl(T_i-\bar{T}\bigr) é o desvio da i-ésima medição em relação à média; elevando ao quadrado e somando obtemos a soma dos quadrados dos desvios; dividir por n-1 dá a variância amostral não tendenciosa; a raiz dá o desvio padrão. Dividimos s por \sqrt{n} porque a média de n medições tem dispersão menor que as medições individuais — concretamente a redução é por um fator \sqrt{n}.

Passo 4

Cálculo dos desvios e dos quadrados dos desvios (mostro cada termo para ficar bem claro).
Primeiro calcule os desvios d_i=T_i-\bar{T}:
\begin{array}{ll} d_1=3,275-3,129=0,146, & d_5=3,157-3,129=0,028,\\[2pt] d_2=3,240-3,129=0,111, & d_6=3,159-3,129=0,030,\\[2pt] d_3=2,982-3,129=-0,147, & d_7=3,002-3,129=-0,127,\\[2pt] d_4=3,022-3,129=-0,107, & d_8=3,195-3,129=0,066. \end{array}
Agora os quadrados:
\begin{array}{ll} d_1^2=0,021316, & d_5^2=0,000784,\\[2pt] d_2^2=0,012321, & d_6^2=0,000900,\\[2pt] d_3^2=0,021609, & d_7^2=0,016129,\\[2pt] d_4^2=0,011449, & d_8^2=0,004356. \end{array}
Soma dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{8}\bigl(T_i-\bar{T}\bigr)^2 = 0,021316+0,012321+0,021609+0,011449+0,000784+0,000900+0,016129+0,004356 = 0,088864.]

Passo 5

Cálculo do desvio padrão amostral s e da incerteza padrão da média u(\bar{T}).
Variância amostral:
s^2=\frac{0,088864}{n-1}=\frac{0,088864}{7}=0,012694857\ldots
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,012694857\ldots}=0,1127\\ \mathrm{s}\quad(\text{aprox.}).
Incerteza padrão da média:
u(\bar{T})=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,1127}{\sqrt{8}}=\frac{0,1127}{2,828427\ldots}=0,0398\\ \mathrm{s}\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Arredondamento e apresentação do resultado conforme recomendação para resultados de medições.
Regras usuais: a incerteza padrão é apresentada normalmente com uma ou duas cifras significativas; se usamos uma cifra significativa, aqui u(\bar{T})\approx0,04\\ \mathrm{s}. A média deve ser arredondada com a mesma ordem decimal da incerteza, portanto arredondamos \bar{T}=3,129\\ \mathrm{s} para dois decimais: 3,13\\ \mathrm{s}.
Assim a apresentação recomendada é
T=(3,13\pm0,04)\\ \mathrm{s},
onde a incerteza indicada é a incerteza padrão da média u(\bar{T}).

Resposta

T=(3,13\pm0,04)\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados