Durante a medição do volume V de um cilindro regular fizemos a medida do diâmetro D da base e da altura H do cilindro, cujos resultados da medição são os seguintes:
\begin{gathered} D=(5,34 \pm 0,03) \mathrm{cm} \\\ H=(10,35 \pm 0,05) \mathrm{cm} \end{gathered}
(a) Encontre o volume do cilindro usando V=\frac{\pi D^{2} H}{4}.
(b) Assumindo que as medições de D e H são independentes, mostre que u(V)=\frac{\pi D}{2} \sqrt{H^{2} u^{2}(D)+\frac{D^{2}}{4} u^{2}(H)}.
(c) Calcule u(V) e expresse o resultado final da medição de V corretamente.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá as medidas com suas incertezas:
  • Perguntas:
    (a) Calcular o volume do cilindro usando a fórmula dada.
    (b) Mostrar a expressão para a incerteza combinada u(V) assumindo D e H independentes.
    (c) Calcular numericamente u(V) e expressar o resultado final da medição de V corretamente.
  • Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado): D=(5,34\pm0,03)\\ \mathrm{cm},\qquad H=(10,35\pm0,05)\\ \mathrm{cm}.Aqui u(D)=0,03\\ \mathrm{cm} e u(H)=0,05\\ \mathrm{cm}.
  • Fórmula dada para o volume (usar diretamente): V=\frac{\pi D^{2}H}{4}.

Passo 2

Calcular o volume V numericamente passo a passo.
  • Primeiro calculemos D^{2}: D^{2}=(5,34)^{2}=28,5156\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Em seguida multiplica-se por H: D^{2}H=28,5156\cdot10,35=295,13646\\ \mathrm{cm}^{3}.Mostrei a multiplicação para você poder replicar na prova sem calculadora (fazendo 28,5156\times 10 + 28,5156\times 0,35).
  • Finalmente multiplica-se por \pi/4: V=\frac{\pi}{4}\cdot295,13646.Usando \pi\approx3,14159265, V\approx231,7996\\ \mathrm{cm}^{3}.Podemos escrever isso como V\approx231,80\\ \mathrm{cm}^{3} antes de considerar a incerteza.

Passo 3

Derivar a expressão para a incerteza u(V) usando propagação de incertezas (variáveis independentes).
  • Conceito rápido e didático: quando uma quantidade V depende de duas medições independentes D e H, a variância de V é a soma das contribuições das variâncias de D e H ponderadas pelos quadrados das derivadas parciais: u^{2}(V)=\left(\frac{\partial V}{\partial D}\right)^{2}u^{2}(D)+\left(\frac{\partial V}{\partial H}\right)^{2}u^{2}(H).Aqui u(\cdot) é o desvio padrão da medição (incerteza).
  • Calculemos as derivadas parciais de V=\dfrac{\pi D^{2}H}{4}: \frac{\partial V}{\partial D}=\frac{\pi\cdot 2D\cdot H}{4}=\frac{\pi D H}{2},
\frac{\partial V}{\partial H}=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Substituindo na fórmula da propagação: u^{2}(V)=\left(\frac{\pi D H}{2}\right)^{2}u^{2}(D)+\left(\frac{\pi D^{2}}{4}\right)^{2}u^{2}(H).
  • Fatorando \left(\dfrac{\pi D}{2}\right)^{2} em comum: u^{2}(V)=\left(\frac{\pi D}{2}\right)^{2}\left(H^{2}u^{2}(D)+\frac{D^{2}}{4}u^{2}(H)\right).Tomando raiz quadrada obtemos exatamente u(V)=\frac{\pi D}{2}\sqrt{H^{2}u^{2}(D)+\frac{D^{2}}{4}u^{2}(H)},que é a expressão pedida no item (b). Isso faz sentido: cada termo dentro da raiz é a contribuição da respectiva medição à incerteza total de V.

Passo 4

Calcular numericamente u(V) passo a passo usando a fórmula do Passo 3.
  • Primeiro calculemos os termos internos: H^{2}=(10,35)^{2}=107,1225,
u^{2}(D)=(0,03)^{2}=0,0009,
H^{2}u^{2}(D)=107,1225\times0,0009=0,09641025.
D^{2}=28,5156\quad(\text{já calculado}),á
\frac{D^{2}}{4}=\frac{28,5156}{4}=7,1289,
u^{2}(H)=(0,05)^{2}=0,0025,
\frac{D^{2}}{4}u^{2}(H)=7,1289\times0,0025=0,01782225.
  • Some as contribuições: H^{2}u^{2}(D)+\frac{D^{2}}{4}u^{2}(H)=0,09641025+0,01782225=0,1142325.
  • Tire a raiz quadrada: \sqrt{0,1142325}\approx0,3380499.
  • Agora calcule o fator externo \dfrac{\pi D}{2}: \frac{\pi D}{2}=\frac{\pi\cdot5,34}{2}\approx8,3880524.
  • Finalmente: u(V)=8,3880524\times0,3380499\approx2,83558\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Arredondamento e apresentação final: regra prática para incertezas é manter uma ou duas cifras significativas. Como o primeiro dígito da incerteza é 2 (não 1), é adequado manter duas cifras significativas: u(V)\approx2,8\\ \mathrm{cm}^{3} (ou, se quiser maior precisão, 2,84\\ \mathrm{cm}^{3}). Ao reportar o valor medido V com a incerteza, devemos arredondar V para a mesma ordem decimal da incerteza escolhida. Usando u(V)=2,8\\ \mathrm{cm}^{3} mostramos V=(231,8\pm2,8)\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

(a) V\approx231,80\\ \mathrm{cm}^{3}
(b) u(V)=\dfrac{\pi D}{2}\sqrt{H^{2}u^{2}(D)+\dfrac{D^{2}}{4}u^{2}(H)}
(c) u(V)\approx2,84\\ \mathrm{cm}^{3} e, com arredondamento padrão, V=(231,8\pm2,8)\\ \mathrm{cm}^{3}

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