Durante a medição do volume
de um cilindro regular fizemos a medida do diâmetro
da base e da altura
do cilindro, cujos resultados da medição são os seguintes:
(a) Encontre o volume do cilindro usando
.
(b) Assumindo que as medições de
e
são independentes, mostre que
.
(c) Calcule
e expresse o resultado final da medição de
corretamente.
(b) Assumindo que as medições de
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá as medidas com suas incertezas:
- Perguntas:
(a) Calcular o volume do cilindro usando a fórmula dada.
(b) Mostrar a expressão para a incerteza combinadaassumindo e independentes.
(c) Calcular numericamentee expressar o resultado final da medição de corretamente. - Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
Aqui e . - Fórmula dada para o volume (usar diretamente):
Passo 2
Calcular o volume
numericamente passo a passo.
- Primeiro calculemos
: - Em seguida multiplica-se por
: Mostrei a multiplicação para você poder replicar na prova sem calculadora (fazendo ). - Finalmente multiplica-se por
: Usando , Podemos escrever isso como antes de considerar a incerteza.
Passo 3
Derivar a expressão para a incerteza
usando propagação de incertezas (variáveis independentes).
- Conceito rápido e didático: quando uma quantidade
depende de duas medições independentes e , a variância de é a soma das contribuições das variâncias de e ponderadas pelos quadrados das derivadas parciais: Aqui é o desvio padrão da medição (incerteza). - Calculemos as derivadas parciais de
:
- Substituindo na fórmula da propagação:
- Fatorando
em comum: Tomando raiz quadrada obtemos exatamente que é a expressão pedida no item (b). Isso faz sentido: cada termo dentro da raiz é a contribuição da respectiva medição à incerteza total de .
Passo 4
Calcular numericamente
passo a passo usando a fórmula do Passo 3.
- Primeiro calculemos os termos internos:
- Some as contribuições:
- Tire a raiz quadrada:
- Agora calcule o fator externo
: - Finalmente:
- Arredondamento e apresentação final: regra prática para incertezas é manter uma ou duas cifras significativas. Como o primeiro dígito da incerteza é
(não 1), é adequado manter duas cifras significativas: (ou, se quiser maior precisão, ). Ao reportar o valor medido com a incerteza, devemos arredondar para a mesma ordem decimal da incerteza escolhida. Usando mostramos
Resposta
(a)
(b)
(c) e, com arredondamento padrão,
(b)
(c)