Obtivemos as seguintes medidas experimentais para uma chapa metálica, na qual o comprimento é dado por a=(10,02 \pm 0,03) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, a largura tem o valor b=(5,07 \pm 0,04) \times 10^{-2} \mathrm{~m}, e a espessura vale (8,12 \pm 0,05) \times 10^{-3} \mathrm{~m}. Examinando os dados, explique se cada afirmação abaixo é correta ou errada, JUSTIFICANDO a sua resposta.
(a) Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimitrada.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (só identificar, sem resolver ainda):\n
  • Comprimento: a=(10,02\pm0,03)\times10^{-2}\,\mathrm{m}.\n
  • Largura: b=(5,07\pm0,04)\times10^{-2}\,\mathrm{m}.\n
  • Espessura: (8,12\pm0,05)\times10^{-3}\,\mathrm{m} (informação presente, mas não pedida nesta alínea).\n
    Pergunta (a): Posso dizer que o comprimento e a largura foram medidos com uma régua milimetrada? (responder se a afirmação é correta ou errada e justificar).

Passo 2

O que significa medir com uma régua milimetrada — regra prática e incerteza típica:\n
  • Uma régua milimetrada tem menor divisão igual a 1\,\mathrm{mm}=1\times10^{-3}\,\mathrm{m}.\n
  • Regra prática para incerteza de leitura de um único valor com um instrumento graduado: costuma-se tomar como incerteza da leitura aproximadamente metade da menor divisão, isto é \pm0,5\,\mathrm{mm} para uma régua milimetrada. Isso representa a dificuldade humana de posicionar exatamente o zero e de interpolar entre marcas. Essa é uma estimativa típica de incerteza por leitura.

Passo 3

Converter as incertezas dadas nas medições para unidades convenientes (milímetros), para comparar com a régua:\n
  • Para a: a incerteza é 0,03\times10^{-2}\,\mathrm{m}. Convertemos:\n
    \;0,03\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0,0003\,\mathrm{m}=0,3\,\mathrm{mm}.\n
  • Para b: a incerteza é 0,04\times10^{-2}\,\mathrm{m}. Convertemos:\n
    \;0,04\times10^{-2}\,\mathrm{m}=0,0004\,\mathrm{m}=0,4\,\mathrm{mm}.\n
    Portanto as incertezas reportadas são \pm0,3\,\mathrm{mm} (comprimento) e \pm0,4\,\mathrm{mm} (largura).

Passo 4

Comparação direta com a incerteza típica da régua milimetrada:\n
  • Incerteza típica de uma única leitura com régua milimetrada: \approx\pm0,5\,\mathrm{mm}.\n
  • Incertezas reportadas: \pm0,3\,\mathrm{mm} e \pm0,4\,\mathrm{mm}.\n
    Observação: os valores reportados são ligeiramente menores que 0,5\,\mathrm{mm}, mas estão na mesma ordem de grandeza (décimos de milímetro).

Passo 5

Como se pode obter incertezas menores que a metade da divisão? — média de leituras e erro padrão:\n
  • Se se fizerem n leituras independentes com a mesma incerteza da leitura individual u_{\text{single}}, a incerteza da média cai como\n
    \displaystyle u_{\bar{x}}=\frac{u_{\text{single}}}{\sqrt{n}}.\n
  • Supondo u_{\text{single}}=0,5\,\mathrm{mm} (régua milimetrada), para obter u_{\bar{x}}=0,3\,\mathrm{mm} precisamos de\n
    \displaystyle \sqrt{n}=\frac{0,5}{0,3}\approx1{,}667\Rightarrow n\approx2{,}78, ou seja, pelo menos n=3 leituras.\n
  • Para obter u_{\bar{x}}=0,4\,\mathrm{mm} precisamos de\n
    \displaystyle \sqrt{n}=\frac{0,5}{0,4}=1{,}25\Rightarrow n\approx1{,}56, ou seja, pelo menos n=2 leituras.\n
    Conclusão desta análise: as incertezas reportadas são compatíveis com leituras feitas com uma régua milimetrada se os experimentadores fizeram a média de poucas leituras (2–3) e reportaram o erro da média.

Passo 6

Outras possibilidades e ambiguidade na determinação do instrumento a partir da incerteza:\n
  • Instrumentos mais precisos (paquímetro/calibre) têm resolução muito melhor (tipicamente 0,05\,\mathrm{mm} ou 0,01\,\mathrm{mm}), logo poderiam produzir incertezas menores que as reportadas; as incertezas dadas não exigem necessariamente um instrumento tão preciso.\n
  • A incerteza final reportada incorpora várias fontes (erro de leitura, variação real da peça, método de análise estatística, etc.). Portanto, saber apenas o valor numérico da incerteza não permite identificar univocamente o instrumento usado.\n
  • Em termos práticos: os números reportados não permitem afirmar com certeza que foi usada exclusivamente uma régua milimetrada; ao mesmo tempo, eles não contradizem totalmente o uso de uma régua se houve média de várias leituras.

Passo 7

Conclusão clara e motivadora (resumindo a justificativa):\n
  • Não se pode afirmar com certeza que comprimento e largura foram medidos com uma régua milimetrada. As incertezas reportadas ( \pm0,3\,\mathrm{mm} e \pm0,4\,\mathrm{mm}) são da mesma ordem de grandeza da incerteza típica de uma régua milimetrada ( \approx\pm0,5\,\mathrm{mm}), e podem ser obtidas a partir de uma régua se os valores foram obtidos pela média de algumas leituras. Mas também são compatíveis com medições feitas por outros instrumentos ou com outras combinações de erros. Logo a afirmação original é demasiado forte: não podemos garantir o instrumento apenas com esses números.

Resposta

Errada.

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