Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais N(0,1) e N\left(\mu, \sigma^{2}\right), respectivamente. 1. Calcule: (a) P[X<1,09], (b) P[X<2,41]; 2. Determine x tal que: (a) \mathrm{P}[\mathrm{X}<\mathrm{x}]=0,883, (b) \mathrm{P}[\mathrm{X}<\mathrm{x}]=0,975; Suponha que:
\left\{\begin{array}{l} P[Y>1]=0,8413 \\\ P[Y>9]=0,0228 \end{array}\right.
Então determine a esperança e o desvio padrão para esta variável.

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis independentes. As informações relevantes e as perguntas são:
  • Informação 1: X\) tem distribuição normal padrão \(N(0,1)\). - Informação 2: \(Y\) tem distribuição normal \(N(\mu,\sigma^{2})\). - Perguntas sobre \(X\): - 1.(a) Calcular \(P[X<1,09]\). - 1.(b) Calcular \(P[X<2,41]\). - 2.(a) Determinar \(x\) tal que \(P[X<x]=0,883\). - 2.(b) Determinar \(x\) tal que \(P[X<x]=0,975\). - Informações adicionais sobre \(Y\): \[\begin{cases} P[Y>1]=0,8413,\\[4pt] P[Y>9]=0,0228. \end{cases}
  • Pergunta sobre Y\]: Determinar a esperança \(E[Y]=\mu e o desvio padrão \sigma usando as probabilidades fornecidas.]

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (devagar e com calma):
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é \Phi(z)=P[Z\le z] para Z\sim N(0,1). Para valores z positivos a gente lê \Phi(z) em uma tabela da normal padrão (ou usa calculadora), que nos dá P[Z\le z].
  • Como X já é padrão ( N(0,1)), basta aplicar \Phi diretamente: P[X<a]=\Phi(a).
  • Para achar um quantil, isto é x tal que P[X<x]=p, usamos a inversa da CDF: x=\Phi^{-1}(p). Na prática consultamos a tabela procurando o p e lemos o z.
  • Vou usar valores da tabela da normal padrão (valores clássicos) e indicar explicitamente quando pego algum valor da tabela.

Passo 3

Calcular 1.(a) P[X<1,09].
  • Como X\sim N(0,1), temos P[X<1,09]=\Phi(1,09).
  • Procurando na tabela da normal padrão, o valor de \Phi(1,09) é 0,8621. (Este valor foi obtido da tabela padrão da normal.)
  • Portanto, P[X<1,09]=0,8621.

Passo 4

Calcular 1.(b) P[X<2,41].
  • Novamente P[X<2,41]=\Phi(2,41).
  • Na tabela da normal padrão \Phi(2,41)\approx 0,9920. (Valor retirado da tabela padrão.)
  • Portanto, P[X<2,41]=0,9920.

Passo 5

Determinar 2.(a) x tal que P[X<x]=0,883.
  • Queremos x=\Phi^{-1}(0,883).
  • Procurando na tabela a probabilidade mais próxima de 0,883, encontramos \Phi(1,19)=0,8830.
  • Assim, x=1,19.

Passo 6

Determinar 2.(b) x tal que P[X<x]=0,975.
  • Queremos x=\Phi^{-1}(0,975).
  • É um valor padrão: \Phi(1,96)=0,9750.
  • Portanto, x=1,96.

Passo 7

Agora tratamos da variável Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) usando as duas probabilidades dadas. Primeiro lembrando a padronização:
  • Se Y\sim N(\mu,\sigma^{2}) e Z\sim N(0,1), então P[Y>a]=P\!\left[Z>\frac{a-\mu}{\sigma}\right].
  • Vamos aplicar isso para a=1 e a=9 usando as probabilidades fornecidas.

Passo 8

Usando P[Y>1]=0,8413.
  • Escrevemos P[Y>1]=P\!\left[Z>\frac{1-\mu}{\sigma}\right]=0,8413.
  • Então P\!\left[Z\le\frac{1-\mu}{\sigma}\right]=1-0,8413=0,1587.
  • Procurando na tabela, \Phi(-1,00)=0,1587. Logo \frac{1-\mu}{\sigma}=-1.
  • Dessa igualdade obtemos uma relação entre \mu e \sigma: 1-\mu=-\sigma\quad\Longrightarrow\quad \mu=1+\sigma.

Passo 9

Usando P[Y>9]=0,0228.
  • Escrevemos P[Y>9]=P\!\left[Z>\frac{9-\mu}{\sigma}\right]=0,0228.
  • Então P\!\left[Z\le\frac{9-\mu}{\sigma}\right]=1-0,0228=0,9772.
  • Na tabela, \Phi(2,00)=0,9772. Logo \frac{9-\mu}{\sigma}=2.
  • Desta igualdade obtemos outra relação: 9-\mu=2\sigma\quad\Longrightarrow\quad \mu=9-2\sigma.

Passo 10

Resolver o sistema obtido nas Passos 8 e 9 para [\mu) e \sigma.
  • Temos \begin{cases} \mu=1+\sigma,\\[4pt] \mu=9-2\sigma. \end{cases}
  • Igualando as expressões para \mu\]: \[1+\sigma=9-2\sigma.\] - Somando \(2\sigma dos dois lados e subtraindo 1: 3\sigma=8 \quad\Longrightarrow\quad \sigma=\frac{8}{3}.
  • Substituindo em \mu=1+\sigma: \mu=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}.
  • Em forma decimal aproximada: \sigma\approx 2,6667,\qquad \mu\approx 3,6667.]

Passo 11

Verificação rápida (útil na prova para se dar segurança):
  • Para a=1: \dfrac{1-\mu}{\sigma}=\dfrac{1-\tfrac{11}{3}}{\tfrac{8}{3}}=\dfrac{-8/3}{8/3}=-1\Rightarrow P[Y>1]=P[Z>-1]=0,8413.
  • Para a=9: \dfrac{9-\mu}{\sigma}=\dfrac{9-\tfrac{11}{3}}{\tfrac{8}{3}}=\dfrac{16/3}{8/3}=2\Rightarrow P[Y>9]=P[Z>2]=0,0228.
  • As contas conferem com os dados dados no enunciado.

Resposta

1 (a) P[X<1,09]=0,8621
1 (b) P[X<2,41]=0,9920
2 (a) x=1,19
2 (b) x=1,96
E[Y]=\mu=\dfrac{11}{3}\approx 3,6667
\text{Desvio padrão de }Y=\sigma=\dfrac{8}{3}\approx 2,6667ã

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