Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes que seguem distribuições normais
e
, respectivamente. 1. Calcule: (a)
, (b)
; 2. Determine
tal que: (a)
, (b)
; Suponha que:
Então determine a esperança e o desvio padrão para esta variável.
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis independentes. As informações relevantes e as perguntas são:
- Informação 1:
- Pergunta sobre
e o desvio padrão
usando as probabilidades fornecidas.]
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (devagar e com calma):
- A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é
para . Para valores positivos a gente lê em uma tabela da normal padrão (ou usa calculadora), que nos dá . - Como
já é padrão ( ), basta aplicar diretamente: . - Para achar um quantil, isto é
tal que , usamos a inversa da CDF: . Na prática consultamos a tabela procurando o e lemos o . - Vou usar valores da tabela da normal padrão (valores clássicos) e indicar explicitamente quando pego algum valor da tabela.
Passo 3
Calcular 1.(a)
.
- Como
, temos . - Procurando na tabela da normal padrão, o valor de
é . (Este valor foi obtido da tabela padrão da normal.) - Portanto,
Passo 4
Calcular 1.(b)
.
- Novamente
. - Na tabela da normal padrão
. (Valor retirado da tabela padrão.) - Portanto,
Passo 5
Determinar 2.(a)
tal que
.
- Queremos
. - Procurando na tabela a probabilidade mais próxima de
, encontramos . - Assim,
Passo 6
Determinar 2.(b)
tal que
.
- Queremos
. - É um valor padrão:
. - Portanto,
Passo 7
Agora tratamos da variável
usando as duas probabilidades dadas. Primeiro lembrando a padronização:
- Se
e , então - Vamos aplicar isso para
e usando as probabilidades fornecidas.
Passo 8
Usando
.
- Escrevemos
. - Então
. - Procurando na tabela,
. Logo - Dessa igualdade obtemos uma relação entre
e :
Passo 9
Usando
.
- Escrevemos
. - Então
. - Na tabela,
. Logo - Desta igualdade obtemos outra relação:
Passo 10
Resolver o sistema obtido nas Passos 8 e 9 para [\mu) e
.
- Temos
- Igualando as expressões para
dos dois lados e subtraindo
: - Substituindo em
: - Em forma decimal aproximada:
]
Passo 11
Verificação rápida (útil na prova para se dar segurança):
- Para
: . - Para
: . - As contas conferem com os dados dados no enunciado.
Resposta
1 (a)
1 (b)
2 (a)
2 (b)
1 (b)
2 (a)
2 (b)