O tempo de espera em uma fila de banco segue distribuição normal com média 15 minutos e desvio padrão 4 minutos. Qual a probabilidade de um cliente esperar mais de 20 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O tempo de espera X tem distribuição normal com média \mu = 15 minutos e desvio padrão \sigma = 4 minutos.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de um cliente esperar mais de 20 minutos? Ou seja, calcular P(X>20).

Passo 2

Entendendo o que é uma distribuição normal (de forma simples e prática).
  • A distribuição normal é uma curva em forma de sino descrita por dois parâmetros: média \mu (centro da curva) e desvio padrão \sigma (que mede a largura da curva).
  • A probabilidade de um evento como X>20 é a área sob a curva normal à direita do ponto x=20.
  • Não é prático integrar a função densidade da normal direta na prova; a técnica padrão é transformar para a variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1, e então usar tabela ou calculadora da normal padrão.

Passo 3

Padronização (a fórmula chave que sempre usamos).
  • A padronização transforma X em Z pelo deslocamento e escala:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Aqui \mu é a média da variável X e \sigma o desvio padrão. Após a transformação, Z segue a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 4

Aplicando a formula ao nosso número 20.
  • Calcula-se o escore z correspondente a x=20:
z=\frac{20-15}{4}=\frac{5}{4}=1,25.
  • Isso significa que 20 minutos está 1,25 desvios-padrão acima da média.

Passo 5

Traduzir a probabilidade para a normal padrão e usar tabela.
  • Queremos
P(X>20)=P\!\left(Z>1,25\right)=1-P\!\left(Z\le 1,25\right).
  • O valor P(Z\le 1,25) é a função de distribuição acumulada da normal padrão em 1,25. Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), obtém-se aproximadamente
P(Z\le 1,25)\approx 0,8944.
(A linha acima foi obtida consultando a tabela da normal padrão; tabelas comuns dão 0,89435\ldots, arredondado para 0,8944.)

Passo 6

Calcular o complemento e interpretar.
  • Então
P(X>20)=1-0,8944=0,1056.
  • Em porcentagem, isso é aproximadamente 10,56\%.
  • Interpretação prática: cerca de uma em cada dez pessoas espera mais de 20 minutos.

Resposta

0,1056

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