Uma empacotadora preenche pacotes de café, onde a quantidade por embalagem segue uma distribuição normal com média 500 g e desvio padrão 10 g . Qual a probabilidade de uma embalagem escolhida ao acaso ter seu conteúdo abaixo de 485 g ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • A quantidade por embalagem segue uma distribuição normal com média \mu=500 g e desvio padrão \sigma=10 g.
  • Pergunta: qual a probabilidade de uma embalagem escolhida ao acaso ter conteúdo abaixo de 485 g, ou seja, calcular \mathbb{P}(X<485).

Passo 2

Vamos lembrar a ideia que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Uma variável aleatória X que é normal com média \mu e desvio padrão \sigma é escrita como X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Não se costuma olhar diretamente a tabela para cada \mu e \sigma. Em vez disso, padronizamos X transformando-a numa variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1: isso facilita o uso da tabela da normal padrão.
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (a massa em gramas),
  • \mu é a média (aqui \mu=500),
  • \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=10),
  • Z segue uma normal padrão Z\sim N(0,1).
  • Depois de obter Z, calculamos \mathbb{P}(X<485)=\mathbb{P}\!\left(Z<\dfrac{485-\mu}{\sigma}\right) e usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora) para obter o valor.

Passo 3

Calcular o escore z correspondente a X=485:
z=\frac{485-\mu}{\sigma}=\frac{485-500}{10}=\frac{-15}{10}=-1,5.
Portanto \mathbb{P}(X<485)=\mathbb{P}(Z<-1,5).

Passo 4

Usar a tabela da normal padrão:
  • A tabela comum fornece \Phi(a)=\mathbb{P}(Z\le a) para a\ge0. Usamos a simetria da normal: \Phi(-a)=1-\Phi(a).
  • Peguei o valor da tabela padrão para a=1,5: \Phi(1,5)=0,9332.
  • Logo
\mathbb{P}(Z<-1,5)=\Phi(-1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida:
  • A probabilidade de uma embalagem ter menos que 485 g é \,0,0668, ou seja, aproximadamente 6,68\%.
  • Resumindo: embalagens abaixo de 485 g são relativamente raras — cerca de 6,7 em cada 100.

Resposta

0,0668 e 6,68\%

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