O tempo de execução de uma etapa em um processo de produção foi medido doze vezes, obtendo-se os seguintes resultados em minutos: 15,12,14,15,16,14,16,13,14,11,15,13. Considere que o tempo de execução de uma etapa em um processo de produção comporta-se como uma variável aleatória normal. Apresente um intervalo de 95 % de confiança para o tempo médio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução de uma etapa no processo de produção. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (12 medidas) e a gente não conhece o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral dos tempos registrados. A média nos dá uma ideia central dos dados.
A fórmula para a média é:
barx = sumi=1^n xin
onde $ \bar{x} $ é a média, $ x_i $ são os valores individuais e $ n $ é o número de observações.
Vamos somar todos os tempos:
barx
Então, a média é:
xi

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral, que mede a dispersão dos dados em relação à média.
A fórmula para o desvio padrão amostral ($ s $) é:
s
Vamos calcular cada $ (x_i - \bar{x})^2 $:
s = raizsumi=1^n (xi - barx)^2n - 1
Somando todos esses valores:
(xi - barx)^2
Então, o desvio padrão é:
(15 - 13,5)^2 &= 2,25 (12 - 13,5)^2 &= 2,25 (14 - 13,5)^2 &= 0,25 (15 - 13,5)^2 &= 2,25 (16 - 13,5)^2 &= 6,25 (14 - 13,5)^2 &= 0,25 (16 - 13,5)^2 &= 6,25 (13 - 13,5)^2 &= 0,25 (14 - 13,5)^2 &= 0,25 (11 - 13,5)^2 &= 6,25 (15 - 13,5)^2 &= 2,25 (13 - 13,5)^2 &= 0,25

Passo 4

Como temos uma amostra pequena (menos de 30 dados) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.
Para um intervalo de confiança de 95% e $ n - 1 = 11 $ graus de liberdade, precisamos encontrar o valor t crítico ($ t_{\alpha/2} $). Consultando a tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
n - 1 = 11

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão da média ($ SE $), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
SE

Passo 6

Com o erro padrão e o valor t crítico, podemos montar o intervalo de confiança:
barx pm talpha/2 times SE
Substituindo os valores:
13,5 pm 2,201 times 0,465
Calculando a margem de erro:
2,201 times 0,465 approx 1,024

Resposta

Então, o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução é aproximadamente:
13,5 minutos pm 1,024 minutos
Ou seja,
[12,476 minutos, 14,524 minutos]

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