O tempo de execução de uma etapa em um processo de produção foi medido doze vezes, obtendo-se os seguintes resultados em minutos:
. Considere que o tempo de execução de uma etapa em um processo de produção comporta-se como uma variável aleatória normal. Apresente um intervalo de
de confiança para o tempo médio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução de uma etapa no processo de produção. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, como média amostral, desvio padrão e distribuição t de Student, já que a amostra é pequena (12 medidas) e a gente não conhece o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral dos tempos registrados. A média nos dá uma ideia central dos dados.
A fórmula para a média é:
onde $ \bar{x} $ é a média, $ x_i $ são os valores individuais e $ n $ é o número de observações.
Vamos somar todos os tempos:
Então, a média é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão amostral, que mede a dispersão dos dados em relação à média.
A fórmula para o desvio padrão amostral ($ s $) é:
Vamos calcular cada $ (x_i - \bar{x})^2 $:
Somando todos esses valores:
Então, o desvio padrão é:
Passo 4
Como temos uma amostra pequena (menos de 30 dados) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.
Para um intervalo de confiança de 95% e $ n - 1 = 11 $ graus de liberdade, precisamos encontrar o valor t crítico ($ t_{\alpha/2} $). Consultando a tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média ($ SE $), que é o desvio padrão dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
Passo 6
Com o erro padrão e o valor t crítico, podemos montar o intervalo de confiança:
Substituindo os valores:
Calculando a margem de erro:
Resposta
Então, o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de execução é aproximadamente:
Ou seja,