O tempo gasto em e-mail, por sessão, é normalmente distribuído com mu=8 minutos e sigma=2 minutos.
Se desta população fossem extraídas amostras aleatórias de tamanho 25 sessões (n), qual a probabilidade da média das amostras estar entre 7,8 e 8,2 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida antes de começar. O enunciado diz que o tempo por sessão de e-mail é normalmente distribuído com média μ = 8 minutos e desvio padrão σ = 2 minutos. A pergunta é: se a gente pegar várias amostras de tamanho n = 25, qual é a chance da média dessas 25 sessões ficar entre 7,8 e 8,2 minutos?
Conteúdo: distribuição da média amostral (Teorema do Limite Central e propriedade da normal). A gente vai precisar saber que a média das amostras também é normal, com média igual a μ e desvio igual a σ/√n, e usar a tabela da normal padrão.

Passo 2

Definindo a distribuição da média amostral
Pela teoria, se X ∼ Normal(μ, σ²), a média amostral bar X ∼ Normal!l(8,;(2)^2/25r) = Normal!l(8,;0,16r) de tamanho n é
sigmabar X = σraiz n = 2raiz25 = 25 = 0,4 .
Aqui:
μ = 8, σ = 2, n = 25
Então
O desvio-padrão (erro padrão) é

Passo 3

Padronizando pra usar a normal padrão
Queremos
P(7,8 <= bar X <= 8,2)
A gente faz a transformação Z = ( z1 = 7,8 - 80,4 = -0,20,4 = -0,5, z2 = 8,2 - 80,4 = 0,20,4 = 0,5 ) / σ_{\bar X}.
Então os limites viram:
P(7,8 <= bar X <= 8,2) = Pl(-0,5 <= Z <= 0,5r)
Logo

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão
Da tabela ou calculadora:
Φ(0,5) ≈ 0,6915, Φ(-0,5) = 1 - Φ(0,5) ≈ 0,3085
Então
P(-0,5 <= Z <= 0,5) = Φ(0,5) - Φ(-0,5) ≈ 0,6915 - 0,3085 = 0,3830

Resposta

A probabilidade da média amostral ficar entre 7,8 e 8,2 minutos é aproximadamente 0,3830 (ou 38,30%).

Exercícios relacionados