O tempo gasto em e-mail, por sessão, é normalmente distribuído com mu=8 minutos e sigma=2 minutos.
O que é mais provável ocorrer - uma determinada sessão de e-mail que demore mais de 11 minutos, uma média aritmética de amostra acima de 9 minutos em uma amostra de 25 sessões ou uma média aritmética de amostra superior a 8,6 minutos em uma amostra de 100 sessões?

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo?
Temos o tempo gasto numa sessão de e-mail seguindo uma Normal com média μ=8 min e desvio σ=2 min. A pergunta é: qual dos três eventos abaixo tem maior probabilidade?
  1. Uma sessão demora mais de 11 min.
  2. A média de 25 sessões dá mais de 9 min.
  3. A média de 100 sessões dá mais de 8,6 min.
    Conteúdo: distribuição Normal e distribuição da média amostral. Vamos precisar calcular probabilidades usando padronização (z-score) e lembrar que, para X̄, o desvio padrão é σ/√n.

Passo 2

Calcular P(X>11) para X∼N(8,2²).
  1. Padronizo:
Z = X - μσ = 11 - 82 = 1,5
  1. Logo
P(X>11) = Pl(Z>1,5r) = 1 - Φ(1,5) ≃ 1 - 0,9332 = 0,0668
Explicação rápida: Φ(z) é a tabela da Normal padrão.

Passo 3

Calcular P\bigl(X̄>9\bigr) para n=25.
  1. A média da amostra X̄ tem média μ_{\bar X}=8 e desvio σ_{\bar X}=σ/√n = 2/5 = 0{,}4.
  2. Padronizo:
Z = X̄ - 80,4 = 9 - 80,4 = 2,5
  1. Então
P(X̄>9) = P(Z>2,5) = 1 - Φ(2,5) ≃ 1 - 0,9938 = 0,0062

Passo 4

Calcular P\bigl(X̄>8{,}6\bigr) para n=100.
  1. Agora σ_{\bar X}=2/√100 = 2/10 = 0{,}2.
  2. Padronizo:
Z = 8,6 - 80,2 = 0,60,2 = 3
  1. Então
P(X̄>8,6) = P(Z>3) = 1 - Φ(3) ≃ 1 - 0,99865 = 0,00135

Passo 5

Temos as três probabilidades:
  1. 0{,}0668
  2. 0{,}0062
  3. 0{,}00135
É claro que 0,0668 é bem maior que as outras duas.

Resposta

O mais provável de acontecer é que uma sessão individual demore mais de 11 min (primeiro evento).

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