Ex 2. Em uma biorrefinaria, 20 \% dos biorreatores apresentam problemas mecânicos, 8 \% apresentam contaminação microbiológica e 4 \% apresentam ambas as situações. Selecionamos ao acaso um biorreator desta biorrefinaria:
a) Os eventos de contaminação microbiológica e problemas mecânicos são eventos independentes? Justifique.
b) Se o biorreator selecionado tem problemas mecânicos, qual é a probabilidade de estar contaminado?
c) Qual é a probabilidade de não ter problemas mecânicos ou apresentar contaminação microbiológica?

Passo 1

Resumindo o enunciado: em uma biorrefinaria, 20\% dos biorreatores têm problemas mecânicos, 8\% têm contaminação microbiológica e 4\% têm ambas as situações. Pedem:
  • a) verificar se os eventos “problema mecânico” e “contaminação” são independentes;
  • b) calcular P(\text{contaminação}\mid \text{problema mecânico})çãâ;
  • c) obter P(\text{não ter problema mecânico}\;\cup\;\text{contaminação})ãâçã.
    Vamos usar conceitos de independência ( P(A\cap B)=P(A)P(B)), probabilidade condicional ( P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)) e probabilidade de união ( P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)).

Passo 2

Testar independência: seja
\displaystyle A=\{\text{problema mecânico}\}â,
\displaystyle B=\{\text{contaminação}\}çã.
Temos
P(A)=0,20,\quad P(B)=0,08,\quad P(A\cap B)=0,04.
Se fossem independentes, deveríamos ter
P(A\cap B)\stackrel{?}{=}P(A)\,P(B)=0,20\times0,08=0,016.
Como 0,04\neq0,016, os eventos não são independentes.

Passo 3

Calcular a probabilidade condicional de contaminação dado problema mecânico:
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,04}{0,20}=0,20.
Ou seja, 20\%.

Passo 4

Calcular P(\neg A\;\cup\;B), isto é, “não ter problema mecânico ou ter contaminação”. Usamos
P(\neg A\cup B)=P(\neg A)+P(B)-P(\neg A\cap B).
Como P(\neg A)=1-0,20=0,80 e
P(\neg A\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=0,08-0,04=0,04,
vem
P(\neg A\cup B)=0,80+0,08-0,04=0,84.

Resposta

(a) Não são independentes, pois 0,04\neq0,20\times0,08.\n
(b) P(\text{contaminação}\mid \text{problema mecânico})=0,20çãâ (ou 20\%).\n
(c) P(\neg\text{problema mecânico}\;\cup\;\text{contaminação})=0,84âçã (ou 84\%).

Exercícios relacionados