Deseja-se testar se a variância do processo é maior que a especificada. A variância alvo é \sigma_{0}^{2}=16. Uma amostra de n=20 peças apresentou desvio-padrão s=5 \mathrm{~g}.

Passo 1

O enunciado pede testar se a variância do processo é maior que a variância especificada. Dados fornecidos:
  • Variância alvo: \sigma_{0}^{2}=16.
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Desvio-padrão amostral: s=5\\ \mathrm{g}.
Pergunta explícita que vamos responder: com esses dados, há evidência de que a variância verdadeira é maior que \sigma_{0}^{2}=16? (Ou seja, faremos um teste unilateral à direita.)

Passo 2

Escolha do teste e ideia por trás (explicação didática):
Quando queremos testar hipóteses sobre a variância de uma população normal, usamos a estatística baseada em uma soma de quadrados padronizada que segue uma distribuição qui-quadrado sob a hipótese nula. A fórmula padrão é:
\chi^{2}=\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}
onde:
  • \chi^{2} é a estatística de teste (segue, sob H_0, uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade),
  • n é o tamanho da amostra,
  • s^{2} é a variância amostral (note: s dado é o desvio-padrão, então s^{2} é o quadrado dele),
  • \sigma_{0}^{2} é a variância especificada sob H_0.
Motivação simples: (n-1)s^{2}/\sigma^{2} é a soma dos quadrados das observações padronizadas; quando \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2} essa soma tem distribuição conhecida (qui-quadrado), o que nos permite calcular probabilidades (p-valores) e decidir.
As hipóteses (unilateral à direita) são:
H_0:\\ \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}=16
H_1:\\ \sigma^{2}>\sigma_{0}^{2}

Passo 3

Calcular a estatística de teste passo a passo:
Primeiro calcule s^{2}:
s^{2}=5^{2}=25.
Calcule (n-1)s^{2}:
(n-1)s^{2}=19\cdot 25=475.
Agora divida por \sigma_{0}^{2}=16:
\chi^{2}=\frac{475}{16}=29{,}6875.
Portanto, a estatística de teste é \chi^{2}=29{,}6875 com n-1=19 graus de liberdade.

Passo 4

Como obter o p-valor (explicação prática para a prova):
O p-valor do teste unilateral à direita é
\text{p-valor}=P\big( X\ge 29{,}6875\big),
onde X\sim\chi^{2}_{19}. Em prova sem calculadora, usamos a tabela da distribuição \chi^{2} ou aproximações. Consultando a tabela (valores usuais para df=19) encontramos:
\chi^{2}_{19,0{,}90}=27{,}204\quad(\text{ou seja, }P(X\le 27{,}204)=0{,}90)
\chi^{2}_{19,0{,}95}=30{,}144\quad(\text{ou seja, }P(X\le 30{,}144)=0{,}95)
Nosso valor 29{,}6875 está entre esses dois quantis, então o p-valor está entre 0{,}05 e 0{,}10. Podemos interpolar linearmente para estimar o p-valor:
\text{p-valor}\approx 0{,}05 + \frac{30{,}144-29{,}6875}{30{,}144-27{,}204}\cdot(0{,}10-0{,}05).
Calcule a diferença e a interpolação:
30{,}144-29{,}6875=0{,}4565,
30{,}144-27{,}204=2{,}94,
\frac{0{,}4565}{2{,}94}\approx 0{,}15531.
Logo
\text{p-valor}\approx 0{,}05 + 0{,}15531\cdot 0{,}05 \approx 0{,}05 + 0{,}007765 \approx 0{,}0578.
Portanto estimamos \text{p-valor}\approx 0{,}058 (aproximação razoável para uso em prova).
Obs.: se você tiver calculadora com função qui-quadrado ou software, pode obter valor mais preciso; aqui usei tabela + interpolação, método aceito em provas quando não há cálculo exato.

Passo 5

Interpretação e decisão (como proceder na prova):
  • Se o nível de significância for \alpha=0{,}05: comparamos \text{p-valor}\approx 0{,}058 com \alpha=0{,}05. Como \text{p-valor}>\alpha, não rejeitamos H_0. Em palavras: não há evidência suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que a variância é maior que 16.
  • Se o nível de significância for \alpha=0{,}10: como \text{p-valor}\approx 0{,}058<0{,}10, rejeitaríamos H_0 ao nível de 10\%; isto é, há evidência moderada (mas não forte) de que a variância é maior que 16.
Alternativa pelo método do valor crítico: usar o quantil \chi^{2}_{19,0{,}95}=30{,}144. Rejeita-se H_0 se \chi^{2}>30{,}144. Nosso \chi^{2}=29{,}6875 é menor, então não rejeitamos ao nível 5\%, coerente com o p-valor.

Resposta

\chi^{2}=\dfrac{(20-1)\cdot 5^{2}}{16}=29{,}6875 (com df=19).\np-valor\approx 0{,}058.\nAo nível \alpha=0{,}05: não rejeita-se H_0 (não há evidência suficiente de que \sigma^{2}>16).

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