Deseja-se testar se a variância do processo é maior que a especificada. A variância alvo é
. Uma amostra de
peças apresentou desvio-padrão
.
Passo 1
O enunciado pede testar se a variância do processo é maior que a variância especificada. Dados fornecidos:
- Variância alvo:
. - Tamanho da amostra:
. - Desvio-padrão amostral:
.
Pergunta explícita que vamos responder: com esses dados, há evidência de que a variância verdadeira é maior que
? (Ou seja, faremos um teste unilateral à direita.)
Passo 2
Escolha do teste e ideia por trás (explicação didática):
Quando queremos testar hipóteses sobre a variância de uma população normal, usamos a estatística baseada em uma soma de quadrados padronizada que segue uma distribuição qui-quadrado sob a hipótese nula. A fórmula padrão é:
Quando queremos testar hipóteses sobre a variância de uma população normal, usamos a estatística baseada em uma soma de quadrados padronizada que segue uma distribuição qui-quadrado sob a hipótese nula. A fórmula padrão é:
onde:
-
é a estatística de teste (segue, sob , uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade), -
é o tamanho da amostra, -
é a variância amostral (note: dado é o desvio-padrão, então é o quadrado dele), -
é a variância especificada sob .
Motivação simples:
é a soma dos quadrados das observações padronizadas; quando
essa soma tem distribuição conhecida (qui-quadrado), o que nos permite calcular probabilidades (p-valores) e decidir.
As hipóteses (unilateral à direita) são:
Passo 3
Calcular a estatística de teste passo a passo:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Calcule
:
Agora divida por
:
Portanto, a estatística de teste é
com
graus de liberdade.
Passo 4
Como obter o p-valor (explicação prática para a prova):
O p-valor do teste unilateral à direita é
O p-valor do teste unilateral à direita é
onde
. Em prova sem calculadora, usamos a tabela da distribuição
ou aproximações. Consultando a tabela (valores usuais para
) encontramos:
Nosso valor
está entre esses dois quantis, então o p-valor está entre
e
. Podemos interpolar linearmente para estimar o p-valor:
Calcule a diferença e a interpolação:
Logo
Portanto estimamos
(aproximação razoável para uso em prova).
Obs.: se você tiver calculadora com função qui-quadrado ou software, pode obter valor mais preciso; aqui usei tabela + interpolação, método aceito em provas quando não há cálculo exato.
Passo 5
Interpretação e decisão (como proceder na prova):
- Se o nível de significância for
: comparamos com . Como , não rejeitamos . Em palavras: não há evidência suficiente, ao nível de , para afirmar que a variância é maior que . - Se o nível de significância for
: como , rejeitaríamos ao nível de ; isto é, há evidência moderada (mas não forte) de que a variância é maior que .
Alternativa pelo método do valor crítico: usar o quantil
. Rejeita-se
se
. Nosso
é menor, então não rejeitamos ao nível
, coerente com o p-valor.