\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão. Ajustar os dados da tabela abaixo a uma função potência \left(\quad \mathbf{Y}=\beta_{1} \mathbf{e}^{\beta_{2} \mathbf{X}}\right) :
Vendas ( Y ) 50 67 66 77 80
Gastos de Propaganda (X) 140 238 280 400 500

Passo 1

O enunciado pede ajustar os dados da tabela à função exponencial
Y=\beta_{1}e^{\beta_{2}X}.
Os dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada) são os pares (X,Y):
(140,50),\\ (238,67),\\ (280,66),\\ (400,77),\\ (500,80).
A pergunta implícita é: encontrar os parâmetros \beta_{1} e \beta_{2} que melhor ajustam esses dados pelo método dos mínimos quadrados (ajuste exponencial).

Passo 2

Transformação para linearizar o problema (ideia-chave).
Se escrevemos Y=\beta_{1}e^{\beta_{2}X} e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados, obtemos uma equação linear em termos de \ln Y:
\ln Y = \ln\beta_{1} + \beta_{2}X.
Definindo Z=\ln Y, a relação fica
Z = a + bX,
onde a=\ln\beta_{1} e b=\beta_{2}. Assim podemos ajustar uma regressão linear ordinária de Z em função de X e depois voltar às variáveis originais.

Passo 3

Calcular Z=\ln Y para cada ponto (usei os valores de Y da tabela):
\begin{aligned} \ln(50)&\approx 3,912023,\\\ \ln(67)&\approx 4,204693,\\\ \ln(66)&\approx 4,189655,\\\ \ln(77)&\approx 4,343805,\\\ \ln(80)&\approx 4,382027. \end{aligned}
Agora temos os pares (X,Z):
(140,3,912023),\\ (238,4,204693),\\ (280,4,189655),\\ (400,4,343805),\\ (500,4,382027).

Passo 4

Fórmulas da regressão linear (mínimos quadrados).
Para ajustar Z = a + bX com n observações, as fórmulas dos estimadores são
b=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})(Z_i-\overline{Z})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}}, \qquad a=\overline{Z}-b\,\overline{X},
onde \overline{X} e \overline{Z} são as médias amostrais. Aqui b=\beta_{2} e a=\ln\beta_{1}. Vou calcular passo a passo \overline{X},\overline{Z}, as somas necessárias e então b e a.

Passo 5

Calcular médias:
\sum X = 140+238+280+400+500 = 1558,
\overline{X}=\frac{1558}{5}=311,6.
\sum Z = 3,912023+4,204693+4,189655+4,343805+4,382027 \approx 21,032203,
\overline{Z}=\frac{21,032203}{5}\approx 4,206441.

Passo 6

Calcular as somas para o numerador e denominador de b. Para cada observação calculei (X_i-\overline{X}), (Z_i-\overline{Z}), o produto e o quadrado:
\begin{array}{l|r@{\\ }r@{\\ }r} i & X_i-\overline{X} & Z_i-\overline{Z} & (X_i-\overline{X})(Z_i-\overline{Z})\\hline 1 & 140-311,6=-171,6 & 3,912023-4,206441=-0,294419 & (+)50,521232\\\\ 2 & 238-311,6=-73,6 & 4,204693-4,206441=-0,001748 & (+)0,128619\\\\ 3 & 280-311,6=-31,6 & 4,189655-4,206441=-0,016786 & (+)0,530438\\\\ 4 & 400-311,6=88,4 & 4,343805-4,206441=0,137364 & (+)12,143022\\\\ 5 & 500-311,6=188,4 & 4,382027-4,206441=0,175586 & (+)33,080402\\hline \end{array}
Também calculei os quadrados (X_i-\overline{X})^{2}:
\begin{aligned} (-171,6)^{2}&=29446,56,\\\ (-73,6)^{2}&=5416,96,\\\ (-31,6)^{2}&=998,56,\\\ (88,4)^{2}&=7814,56,\\\ (188,4)^{2}&=35494,56. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i}(X_i-\overline{X})(Z_i-\overline{Z})\approx 50,521232+0,128619+0,530438+12,143022+33,080402\approx 96,403713,
\sum_{i}(X_i-\overline{X})^{2}\approx 29446,56+5416,96+998,56+7814,56+35494,56=79171,20.

Passo 7

Calcular b e a (e lembrar que b=\beta_{2} e a=\ln\beta_{1}):
b=\beta_{2}=\frac{96,403713}{79\,171,20}\approx 0,0012179.
a=\ln\beta_{1}=\overline{Z}-b\,\overline{X}\approx 4,206441 - 0,0012179\cdot 311,6 \approx 3,826945.

Passo 8

Voltar aos parâmetros originais: \beta_{1}=e^{a}.
\beta_{1}=e^{3,826945}\approx 45,94.
Portanto o ajuste exponencial obtido é
\hat{Y}=\beta_{1}e^{\beta_{2}X}\approx 45,94\,e^{0,0012179\,X}.
(Isto significa que, segundo o ajuste, quando X aumenta, Y cresce exponencialmente com taxa \beta_{2} por unidade de X.)

Resposta

\hat{Y}=45,94\,e^{0,0012179\,X}

Exercícios relacionados