\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão. Ajustar os dados da tabela abaixo a uma função potência \left(\quad \mathbf{Y}=\beta_{1} \mathbf{e}^{\beta_{2} \mathbf{X}}\right) :
Vendas ( Y )
50
67
66
77
80
Gastos de Propaganda (X)
140
238
280
400
500
Passo 1
O enunciado pede ajustar os dados da tabela à função exponencial
Y=\beta_{1}e^{\beta_{2}X}.
Os dados fornecidos (peguei estes números da tabela enviada) são os pares (X,Y):
A pergunta implícita é: encontrar os parâmetros \beta_{1} e \beta_{2} que melhor ajustam esses dados pelo método dos mínimos quadrados (ajuste exponencial).
Passo 2
Transformação para linearizar o problema (ideia-chave).
Se escrevemos Y=\beta_{1}e^{\beta_{2}X} e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados, obtemos uma equação linear em termos de \ln Y:
\ln Y = \ln\beta_{1} + \beta_{2}X.
Definindo Z=\ln Y, a relação fica
Z = a + bX,
onde a=\ln\beta_{1} e b=\beta_{2}. Assim podemos ajustar uma regressão linear ordinária de Z em função de X e depois voltar às variáveis originais.
Passo 3
Calcular Z=\ln Y para cada ponto (usei os valores de Y da tabela):
onde \overline{X} e \overline{Z} são as médias amostrais. Aqui b=\beta_{2} e a=\ln\beta_{1}. Vou calcular passo a passo \overline{X},\overline{Z}, as somas necessárias e então b e a.
Passo 5
Calcular médias:
\sum X = 140+238+280+400+500 = 1558,
\overline{X}=\frac{1558}{5}=311,6.
\sum Z = 3,912023+4,204693+4,189655+4,343805+4,382027 \approx 21,032203,
\overline{Z}=\frac{21,032203}{5}\approx 4,206441.
Passo 6
Calcular as somas para o numerador e denominador de b. Para cada observação calculei (X_i-\overline{X}), (Z_i-\overline{Z}), o produto e o quadrado: