O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, é uma variável aleatória com o seguinte comportamento:
t 2 3 4 5
|l|l|l|l|l| hline t & 2 & 3 & 4 & 5 hline $P(T=t)$ & 0.317 & p & 0.259 & 0.078 hline 0.317 p 0.259 0.078
Calcule o pedido nos itens a seguir.
OBS: O primeiro número entre parênteses no início de cada item é o número de casas decimais da resposta eo segundo é a tolerância considerada.
a. (3 ; 0.001) O valor de p para que a tabela represente a distribuição de probabilidade de T é:
square
b. (3 ; 0.001) A probabilidade de que uma peça seja processada em 4 ou mais minutos.
square
c. (3 ; 0.005) Sabendo que uma peça é processada em mais de 2 minutos, qual probabilidade que seja em menos que 4 minutos. square
d. (2 ; 5 %) O tempo esperado para um operário processar a peça. square
e. (2 ; 5 %) O desvio padrão do tempo para processar a peça. square

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta T com valores possíveis 2,3,4,5 e probabilidades P(T=2)=0.317, P(T=3)=p, P(T=4)=0.259, P(T=5)=0.078. Precisamos usar:
  1. A condição sum P(T=t)=1 para achar p.
  2. Soma de probabilidades para eventos como T>=4.
  3. Probabilidade condicional P(Amid B)=P(Acap B)/P(B).
  4. Fórmulas de esperança e variância para variável discreta:
E(T)=sum t,P(T=t),
Var(T)=E(T^2)-[E(T)]^2,sigma=raizVar(T)

Passo 2

Para achar p usamos a soma das probabilidades igual a 1:
p = 1 - l(0.317 + 0.259 + 0.078r) = 1 - 0.654 = 0.346

Passo 3

A probabilidade de processar em 4 ou mais minutos é
P(T>=4) = P(T=4) + P(T=5) = 0.259 + 0.078 = 0.337

Passo 4

Queremos P(T<4 mid T>2). Note que T<4 e T>2 só ocorre em T=3. Logo,
P(T<4 mid T>2) = P(T=3)P(T>2) = 0.3460.346 + 0.259 + 0.078 = 0.3460.683 approx 0.507

Passo 5

O tempo esperado é
E(T) = 2cdot0.317 + 3cdot0.346 + 4cdot0.259 + 5cdot0.078 = 0.634 + 1.038 + 1.036 + 0.390 = 3.098 approx 3.10

Passo 6

Calculamos primeiro E(T^2):
E(T^2) = 2^2cdot0.317 + 3^2cdot0.346 + 4^2cdot0.259 + 5^2cdot0.078 = 1.268 + 3.114 + 4.144 + 1.950 = 10.476
A variância é
Var(T) = E(T^2) - [E(T)]^2 = 10.476 - (3.098)^2 = 10.476 - 9.5976 = 0.8784,
e o desvio padrão
sigma = raiz0.8784 approx 0.9373 approx 0.94

Resposta

a. 0.346
b. 0.337
c. 0.507
d. 3.10
e. 0.94

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