O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 30 a 75 segundos. Determine:
A probabilidade da montagem ser feita em menos que 52 segundos. Utilize 3 casas decimais.
A probabilidade da montagem ser feita em menos que 52 segundos. Utilize 3 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
Pergunta:
Passo 2
O que significa "v.a. contínua uniforme em
" e qual fórmula usamos.
Uma variável aleatória
é uniforme contínua em
quando todos os valores em
são igualmente prováveis. A função densidade de probabilidade é constante no intervalo e vale:
e
fora desse intervalo.
Explicando devagar: a densidade
indica a “altura” do retângulo cuja área total (base
altura) é 1. Aqui a base tem comprimento
, então a altura é
. A probabilidade de
cair numa subfaixa
é simplesmente a área desse retângulo parcial:
Passo 3
Aplicando a fórmula para calcular
.
Como
é contínua,
. Usamos a expressão da área desde
até
:
Substituindo
, temos
Passo 4
Realizando a conta aritmética exata.
Calcule o comprimento do intervalo:
Portanto
Passo 5
Converter a fração para decimal e arredondar a 3 casas decimais.
Dividindo
por
obtemos a representação decimal periódica
Para arredondar a três casas decimais (milésimos), olhamos as cifras:
A terceira casa decimal é
(milésimos) e a quarta casa decimal também é
, então arredondamos a terceira casa para cima, ficando
Passo 6
Checagem rápida e interpretação intuitiva.
O intervalo total tem comprimento
. A parte até
tem comprimento
, que é um pouco menor que a metade de
(que seria
). Logo a probabilidade deve ser um pouco menor que
. Nosso resultado
faz sentido com essa verificação intuitiva. Força aí — esse tipo de conta é direto na prova se você lembrar da ideia de “área do retângulo”.