O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 30 a 75 segundos. Determine:
A probabilidade da montagem ser feita em menos que 52 segundos. Utilize 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
\text{Tempo de montagem } X \text{ é uma v.a. contínua uniforme em }[30,75].éí
a=30,\quad b=75.
Pergunta:
\text{Calcular }P(X<52)\text{, e apresentar o resultado com 3 casas decimais.}

Passo 2

O que significa "v.a. contínua uniforme em [a,b]" e qual fórmula usamos.
Uma variável aleatória X é uniforme contínua em [a,b] quando todos os valores em [a,b] são igualmente prováveis. A função densidade de probabilidade é constante no intervalo e vale:
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b,
e f(x)=0 fora desse intervalo.
Explicando devagar: a densidade f(x) indica a “altura” do retângulo cuja área total (base \times altura) é 1. Aqui a base tem comprimento b-a, então a altura é \frac{1}{b-a}. A probabilidade de X cair numa subfaixa [c,d]\subset[a,b] é simplesmente a área desse retângulo parcial:
P(c\le X\le d)=\int_{c}^{d} f(x)\,dx=\frac{d-c}{b-a}.

Passo 3

Aplicando a fórmula para calcular P(X<52).
Como X é contínua, P(X<52)=P(X\le 52). Usamos a expressão da área desde a=30 até 52:
P(X<52)=\int_{30}^{52} f(x)\,dx.
Substituindo f(x)=\dfrac{1}{b-a}=\dfrac{1}{75-30}=\dfrac{1}{45}, temos
P(X<52)=\int_{30}^{52}\frac{1}{45}\,dx=\frac{1}{45}\,(52-30).

Passo 4

Realizando a conta aritmética exata.
Calcule o comprimento do intervalo:
52-30=22.
Portanto
P(X<52)=\frac{22}{45}.

Passo 5

Converter a fração para decimal e arredondar a 3 casas decimais.
Dividindo 22 por 45 obtemos a representação decimal periódica
\frac{22}{45}=0,488888\ldots=0,488\overline{8}.
Para arredondar a três casas decimais (milésimos), olhamos as cifras:
0,488888\ldots
A terceira casa decimal é 8 (milésimos) e a quarta casa decimal também é 8, então arredondamos a terceira casa para cima, ficando
0,489.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação intuitiva.
O intervalo total tem comprimento 45. A parte até 52 tem comprimento 22, que é um pouco menor que a metade de 45 (que seria 22{,}5). Logo a probabilidade deve ser um pouco menor que 0{,}5. Nosso resultado 0{,}489 faz sentido com essa verificação intuitiva. Força aí — esse tipo de conta é direto na prova se você lembrar da ideia de “área do retângulo”.

Resposta

0,489

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