O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 30 a 75 segundos. Determine:
O tempo abaixo do qual 80 \% das montagens são feitas. Utilize 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá que o tempo de montagem é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo [30,75]. Pede-se: determinar o tempo abaixo do qual 80\% das montagens são feitas. Usar 3 casas decimais.

Passo 2

Entender o que significa "uniforme no intervalo [30,75]\)". Para uma distribuição uniforme contínua em \([a,b]\) temos densidade de probabilidade (função densidade) \[f(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le t\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Aqui a\] é o menor tempo possível (\(a=30) e b é o maior tempo possível ( b=75). A interpretação prática: cada pequeno intervalo de tempo dentro de [a,b] tem a mesma “densidade” de chance de ocorrer.]

Passo 3

Construir a função distribuição acumulada (CDF) F(t)=P(T\le t). Para t dentro de [a,b] a CDF é a integral da densidade desde a até t:
F(t)=\int_{a}^{t}\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{t-a}{b-a},\qquad a\le t\le b.
Explicando: F(t) dá a proporção (probabilidade) de montagens que levam tempo menor ou igual a t. A fórmula \frac{t-a}{b-a} varia linearmente de 0 (em t=a) a 1 (em t=b).

Passo 4

Definir o tempo buscado como o quantil q tal que P(T\le q)=0,8. Em termos da CDF:
F(q)=0,8.
Usando a fórmula da CDF para uniforme, isto é
\frac{q-a}{b-a}=0,8.
Resolver essa equação isola q. Esta é uma fórmula geral: para o percentil p (com 0<p<1) do uniforme em [a,b] temos
q_p = a + p\,(b-a).
Aqui p=0,8.

Passo 5

Substituir os valores a=30, b=75 e p=0,8. Primeiro calcule b-a:
b-a=75-30=45.
Agora calcule p(b-a):
0,8\times 45=36.
Finalmente
q = a + 0,8(b-a)=30+36=66.

Passo 6

Arredondar para três casas decimais conforme pedido. O valor já é inteiro, então em três casas decimais fica
66,000.
Interpretação final: 80\% das montagens são concluídas em no máximo 66,000 segundos.

Resposta

66,000 segundos

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