O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 30 a 75 segundos. Determine:
O tempo esperado (em segundos) de montagem. Utilize 3 casas decimais.
O tempo esperado (em segundos) de montagem. Utilize 3 casas decimais.
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de montagem é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo
(segundos) e pede o tempo esperado (valor médio) de montagem, com 3 casas decimais.
Informações dadas:
(extremo inferior do intervalo),
(extremo superior do intervalo).
O que se pede: o valor esperado em segundos, com três casas decimais.
Informações dadas:
O que se pede: o valor esperado
Passo 2
O que significa "Uniforme contínua em
Aqui
é em segundos) e integra para 1 sobre
. Isso garante que é uma distribuição válida.]
Passo 3
Fórmula do valor esperado (média) de uma variável contínua: se
tem densidade
, então
No caso da uniforme em
, como
dentro do intervalo e zero fora, a integral reduz-se a
Essa é a expressão que vamos calcular usando
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral:
Fatorando a constante
:
Agora calculamos a integral
, então
Calculemos passo a passo:
e
, logo
Assim
Dividindo
por
:
Passo 5
Verificação rápida e atalho útil para prova: para a uniforme em
a média é sempre a média aritmética dos extremos,
Aplicando aqui:
o mesmo resultado — é um atalho prático para usar na prova sem integrar.
Passo 6
Como o enunciado pede 3 casas decimais, escrevemos o resultado com três casas: