O tempo de montagem de um determinado mecanismo é uma v.a. com distribuição Uniforme contínua no intervalo de 30 a 75 segundos. Determine:
O tempo esperado (em segundos) de montagem. Utilize 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de montagem é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo [30,75] (segundos) e pede o tempo esperado (valor médio) de montagem, com 3 casas decimais.
Informações dadas:
\;a=30 (extremo inferior do intervalo), \;b=75 (extremo superior do intervalo).
O que se pede: o valor esperado \mathbb{E}[X] em segundos, com três casas decimais.

Passo 2

O que significa "Uniforme contínua em [a,b]\)"? Vou explicar devagar: é uma distribuição que dá a mesma "densidade de probabilidade" para todo \(x\) entre \(a\) e \(b\), e zero fora desse intervalo. A função densidade de probabilidade (pdf) é \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Aqui f(x)\] tem unidade "por segundo" (porque o eixo \(x é em segundos) e integra para 1 sobre [a,b]. Isso garante que é uma distribuição válida.]

Passo 3

Fórmula do valor esperado (média) de uma variável contínua: se X tem densidade f(x), então
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
No caso da uniforme em [a,b], como f(x)=1/(b-a) dentro do intervalo e zero fora, a integral reduz-se a
\mathbb{E}[X]=\int_{a}^{b} x\cdot \frac{1}{b-a}\,dx.
Essa é a expressão que vamos calcular usando a=30 e b=75.

Passo 4

Substituindo a=30 e b=75 na integral:
\mathbb{E}[X]=\int_{30}^{75} x\cdot \frac{1}{75-30}\,dx=\int_{30}^{75} x\cdot \frac{1}{45}\,dx.
Fatorando a constante \dfrac{1}{45}:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{45}\int_{30}^{75} x\,dx.
Agora calculamos a integral \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}, então
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{45}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{30}^{75}=\frac{1}{45}\cdot\frac{75^{2}-30^{2}}{2}.
Calculemos passo a passo: 75^{2}=5625 e 30^{2}=900, logo
75^{2}-30^{2}=5625-900=4725.
Assim
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{45}\cdot\frac{4725}{2}=\frac{4725}{90}.
Dividindo 4725 por 90:
\frac{4725}{90}=52{,}5.

Passo 5

Verificação rápida e atalho útil para prova: para a uniforme em [a,b] a média é sempre a média aritmética dos extremos,
\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2}.
Aplicando aqui:
\mathbb{E}[X]=\frac{30+75}{2}=\frac{105}{2}=52{,}5,
o mesmo resultado — é um atalho prático para usar na prova sem integrar.

Passo 6

Como o enunciado pede 3 casas decimais, escrevemos o resultado com três casas:
\mathbb{E}[X]=52{,}500\\ \text{segundos}.

Resposta

52{,}500 segundos

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