O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de banco tem distribuição aproximadamente normal, com média de 130 s e desvio padrão de 45 s . Qual a probabilidade de que um indivíduo aleatoriamente escolhido:
Gaste entre 2 e 3 minutos no guichê?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de atendimento X (em segundos) é aproximadamente normal com média μ = 130 s e desvio padrão σ = 45 s. Queremos a probabilidade de X estar entre 2 e 3 minutos, ou seja, entre 120 s e 180 s.
Conteúdo: Distribuição Normal, padronização (variável Z) e uso da tabela (ou função) da Normal padrão.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X sim N(mu=130,;sigma^2=45^2)
Isso significa que a densidade de X segue a curva de Gauss com média 130 e desvio 45. Para achar probabilidades, a gente padroniza em Z, que tem média 0 e desvio 1.

Passo 3

Primeiro convertemos minutos em segundos:
2 min = 120 s e 3 min = 180 s.
Então queremos
P(120 <= X <= 180)

Passo 4

Padronizamos os limites:
Z = X - musigma = X - 13045
Para X = 120:
z1 = 120 - 13045 = -1045 approx -0,22
Para X = 180:
z2 = 180 - 13045 = 5045 approx 1,11

Passo 5

Usamos a tabela (ou função) da Normal padrão Φ(z):
Φ(1,11) ≈ 0,8665
Φ(−0,22) = 1 − Φ(0,22) ≈ 1 − 0,5871 = 0,4129
Então
P(120 <= X <= 180) = P(-0,22 <= Z <= 1,11) = Φ(1,11) - Φ(-0,22) approx 0,8665 - 0,4129 = 0,4536

Resposta

A probabilidade de o atendimento durar entre 2 e 3 minutos é aproximadamente 0,4536 (ou 45,36%).

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